学习笔记 透彻博弈论
写在之前
我打算发一个大篇的博弈论
这是一个大纲
这其中也存在来自多方大佬的转载
希望可以解答一些各位心中的疑惑
透彻博弈论
cdy:@xkj 博弈论是个啥? ? ?
xkj:@cdy 学科技的【科普时间】
我们接下来会讲些什么
1.四大经典博弈
2.博弈树(构造状态图)
3.SG函数
4.一些杂讲(这块就是比较乱)
顺序是乱的
博弈树(博弈流程图)
这玩意就跟dfs树一样 状态量一般很大
但是同样跟dfs树一样可以玄学剪枝
可以针对一些比较简单的博弈
我们就先以
言简意赅的巴士博弈为例
当然了 这里还有一道跟博弈树有关的题
SG函数
一类解决博弈论的有力玄学武器
常用于解决组合问题
具体见【SG】
基本的SG定理也就是
我们将当前游戏分解为若干子游戏之后
第i个子游戏的SG直接是SG_i(1<=i<=n)
那么总的SG值就是SG_1SG_2......^SG_n
接下来是一道板子题【HDU 1848】
一道裸的SG函数题
我们仅需预处理出
1000以内的SG函数即可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<string>
#define ll long long
#define inf 0x7fffffff
#define N 500008
#define IL inline
#define M 1008611
#define D double
#define ull unsigned long long
#define R register
using namespace std;
template<typename T>void read(T &a)
{
T x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')f=0;ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();
}
a=f?x:-x;
}
/*-------------OI使我快乐-------------*/
int fib[N],SG[N];
bool ok[N];
int n,m,k;
int main()
{
fib[0]=fib[1]=1;
for(R int i=2;i<=20;++i) fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
for(R int i=1;i<=1010;++i)
{
memset(ok,0,sizeof ok);
for(R int j=1;j<=20&&fib[j]<=i;++j)
ok[SG[i-fib[j]]]=1;
for(R int j=0;;++j) if(!ok[j]) {SG[i]=j;break;}
}
read(n);read(m);read(k);
while(n&&m&&k)
{
if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) puts("Fibo");
else puts("Nacci");
read(n);read(m);read(k);
}
return 0;
}
四大经典博弈
\(n\%(m+1)==0\) ? 后手胜:先手胜
\(a_1\)$a_2$\(a_3\)......\(a_n==0\) ? 后手胜:先手胜
当前仅当\((x,y)(x<y)(y-x)× \frac{\sqrt{5}+1}{2}=x\)时 先手败
当且仅当\(n\)是斐波那契数字时先手必败
一些杂讲
Anti—Nim
Anti-Nim与普通Nim只有胜利条件不同
先手必胜:
1.每一堆石子都只有一个 且SG_tot==0
2.至少一堆石子多于一个 且 SG_tot!=0
具体的话我们还是看【推导】
Multi-SG游戏及其所对应的SG定理
这个游戏本身并不重要 但是它所对应的SG定理确实十分重要
阶梯Nim博弈
我也是比较懒了 所以还是直接上【链接】吧
无向图上的删边游戏
我也是比较懒了 所以还是直接上【链接】
Shannon开关游戏
这个好像需要一个叫做 拟阵 的东西
除了拟阵也不知道用啥了 网上介绍也是少的可怜
本蒟蒻太辣鸡辣
所以有兴趣的自己了解一下
上手练习
我就直接上题吧 也不兜兜转转了
总结
好了 博弈论也就是这些
一般博弈论的关键是模型的转换 或者是对SG函数的处理
例如大多数都可以同nim扯上边 而这又同相关证明以及数论息息相关
所以可以的话 最好还是了解一下证明以及这背后的知识
毕竟真正实战意义下的博弈论大多都是省选以上毒瘤级别了
然而这类题又不是可以随随便便就能打出暴力的至少本蒟蒻不可以
所以还是希望各位好好透彻一下
至此 博弈论end