题目

利用余弦定理，构造函数 b=sigma(acos(a[i]^2+a[i+1]^2-e^2)/(2a[i]a[i+1]))。e为边长。当e为解时，b=2*pi（内角和）。重点是，b(e)是单调上升的。所以可以二分。（事实上我觉得这种题目必然要二分，重点就是找一个单调函数）。

写的时候，犯了个很傻逼的错误，还以为是精度问题，就一直改精度........（我发现其实做eps的精度，就把eps对应成整数里的1来理解就是了，二分、比较大小什么的都是跟整数同理的，这样好想很多）。 改到我觉得精度不可能有问题的时候...........突然发现，原来我开始的上下界写错了。竟然把 +-eps写到循环里了.......还有，这题是maxe=min(a[i]+a[i+1])，mine=max(fabs(a[i]-a[i+1])) 的.......这里写的时候也傻逼了。


代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define MAXN 110
#define INF 1<<30
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-8											//eps !!
double a[MAXN];		//边长
int n;

double f(double x1, double x2, double e)	//返回角度
{
	return acos((x1*x1+x2*x2-e*e)/(2*x1*x2));
}

double func(double e)	//	f(边长)-> 2pi
{
	double ret=0;
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		int j=(i+1)%n;
		ret+=f(a[i], a[j], e);
	}
	return ret;
}

int cmp(double x, double y)
{
	if(fabs(x-y)<eps) return 0;						//
	else if(x>=y+eps) return 1;			//x>=y+eps
	else return -1;
}
double solve()
{
	double maxe=INF, mine=0;					//① 很容易错，因为max值是取min操作的........
	for(int i=0; i<n; i++)
	{
		int j=(i+1)%n;
//		maxe = max(maxe, a[i]+a[j])-eps;				//!!!!	傻逼
//		mine = min(mine, fabs(a[i]-a[j]))+eps;

		//maxe = max(maxe, a[i]+a[j]);					//！！！傻逼，too
		//mine = min(mine, fabs(a[i]-a[j]));
		maxe = min(maxe, a[i]+a[j]);	
		mine = max(mine, fabs(a[i]-a[j]));
	}
	double l=mine+eps, r=maxe-eps;

	int yes=0;		//防止一直处于 l=r
	while(r-l>eps || !cmp(r, l))	//相当于eps精度下的 l<=r
	{

		double mid=(l+r)/2;
		double t = func(mid);

//printf("t=%lf, 2*pi=%lf, sub=%.10lf\n", t, 2*pi, fabs(t-2*pi));
		int flag = cmp(t, 2*pi);
		if(!flag)	return mid;
		else if(flag>0) r=mid-eps;
		else if(flag<0) l=mid+eps;

//printf("(%.10lf, %.10lf), sub=%.10lf, eps=%.10lf\n", l, r, r-l, eps);

		if(yes) break;
		if(!cmp(l, r)) yes=1;
	}
	return 0;
}

int main()
{
	int t;	scanf("%d", &t);
	for(int T=0; T<t; T++)
	{
		printf("Case %d: ", T+1);

		scanf("%d", &n);
		for(int i=0; i<n; i++)
		{
			scanf("%lf", &a[i]);
		}

		double t = solve();
		if(t) printf("%.3lf\n", t);
		else printf("impossible\n");
	}
}