大数定理详解（转载）

注：此文出处来自http://blog.sina.com.cn/s/blog_5ecbb4950101kzhu.html

 

1、大数法则
一位数学家调查发现，欧洲各地男婴与女婴的出生比例是22:21，只有巴黎是25:24，这极小的差别使他决心去查个究竟。最后发现，当时的巴黎的风尚是重女轻男，有些人会丢弃生下的男婴，经过一番修正后，依然是22:21。中国的历次人口普查的结果也是22:21。

人口比例所体现的，就是大数法则。
大数法则（Lawoflargenumbers）又称“大数定律”或“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这类规律就是大数法则。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的概率近似于它的概率。
大数法则反映了这世界的一个基本规律：在一个包含众多个体的大群体中，由于偶然性而产生的个体差异，着眼在一个个的个体上看，是杂乱无章、毫无规律、难于预测的。但由于大数法则的作用，整个群体却能呈现某种稳定的形态。

花瓶是由分子组成，每个分子都不规律地剧烈震动。你可曾见过一只放在桌子上的花瓶，突然自己跳起来？
电流是由电子运动形成的，每个电子的行为杂乱而不可预测，但整体看呈现一个稳定的电流强度。
一个封闭容器中的气体，它包含大量的分子，它们各自在每时每刻的位置、速度和方向，都以一种偶然的方式在变化着，但容器中的气体仍能保有一个稳定的压力和温度。

某个人乘飞机遇难，概率不可预料，对于他个人来说，飞机失事具有随机性。
但是对每年100万人次所有乘机者而言，这里的100万人可以理解这100万次的重复试验，其中，总有10人死于飞行事故。那么根据大数法则，乘飞机出事故的概率大约为十万分之一。
这就为保险公司收取保险费提供了理论依据。对个人来说，出险是不确定的，对保险公司来说，众多的保单出险的概率是确定的。

根据大数法则的定律，承保危险的单位越多，损失概率的偏差越小，反之，承保危险的单位越少，损失概率的偏差越大。因此，保险公司运用大数法则就可以比较精确地预测危险，合理保险费率。

2、小刀锯大树
赌客久赌必输的另一个秘密，即大数法则。

赌王何鸿燊刚刚接手葡京赌场的时候，业务蒸蒸日上。
赌王居安思危，请教“赌神”叶汉：“为什么这些赌客总是输，长此以往他们不来赌怎么办？”
叶汉笑道：“这世界每天都死人，你可见这世上少人？”

叶汉的回答甚妙，道出了一条无论是保险公司、赌场还是骗徒，都信仰的法则:大数法则。
赌场本质上是一种温和的“概率场”，概率法则非常明显。一直玩下去，大数法则的作用就会日益显现出来。
庄家在规则上占有少许优势，玩的次数越多，这种优势越能显现出来。

久赌神仙输，赌圣也不行。
一天，一位沙特王子入住葡京酒店。
王子找到赌王，说：我就和你玩一把掷硬币。出正面我给你50亿美元，出反面你的赌场归我。
赌王呵呵一笑：这个游戏固然公平，但不符合我们博彩业的行事法则。
我们开赌场不做一锤子买卖，而是小刀锯大树。如果你真的想玩，我们就玩掷骰子，1000下定输赢。你赢了，可以把我的产业拿走，我赢了，只收你20亿。
沙特王子无奈，只好退出赌局。
这个故事是虚构的，旨在说明大数法则之于赌场的意义。

开赌场不做一锤子买卖，而是“小刀锯大树”。
所以，赌场最欢迎的是斤斤计较、想碰一下运气的散客，他们虽然下注谨慎，却构成了庞大的行为基数。
这种客人会给赌场老板带来几乎线性的稳定收益，是赌场最稳定的收入来源，这是大数法则在起作用。

还有一种是一掷千金、豪气干云的大赌客，他们的下注额若在赌场的风险控制范围，也很难从赌场赢钱，会成为赌场的VIP客户。
假如有一个超级赌客，比如上面虚构故事中的沙特王子。他的赌注超过了普通赌客的千倍万倍，这会导致赌场收益的大幅震荡，极端情况下可能导致赌场破产。
因此，全世界所有赌场都会设定最高的投注限额。赌场设最低及最高的投注限额，即便“新郎行运一条龙”的事故发生，也不至于让赌场亏太多。这样，赌场老板就可以安心睡觉了。
所有的VIP加起来，等于庄家和客人玩了一场长期游戏，大数法则依然有效。

3、“撞骗”的数理依据
你是否收到过这类短信：
请直接把钱打到工商银行卡号6220219 ***

这叫“撞骗”，是一种传统骗术。版本甚多，比如寄中奖信、打中奖电话、发电子邮件。
也就是骗子像没头苍蝇一样乱撞，“有枣没枣打一杆子”或许能“瞎猫捡个死老鼠”。
是不是觉得骗子很蠢？但骗徒的行为却是合乎统计原理的，在数理上是被支持的。

只要发出的短信足够多，其成功率非常稳定，合乎大数法则。
福建的某个小镇，众多乡亲都从事这个行当，短信群发器在这个偏远小镇非常普及。
当警察抓获了这批***民后，奇怪的是，过了很长时间了，居然还有人不断地往查获的卡上汇钱。

有人曾做过统计，类似这种垃圾短信，每发出一万条，上当的人有七到八个，成功率非常稳定。人过一百，形形色色。一万个人里面，总会有几个“人精”，几个笨蛋，这是可以确定的。
究其根源，都是由于大数法则的作用。在社会、经济领域中，群体中个体的状况千差万别，变化不定。但一些反映群体的平均指针，在一定时期内能保持稳定或呈现规律性的变化。

大数法则是保险公司、赌场、撞骗的骗徒，赖以存在的基础

4、广结善缘
大数法则不仅是保险精算中确定费率的主要原则，它还是推销员的制胜之道。

大数法则用在业务员的人脉管理上，就是结识的人数越多，预期能够带来的商业机会的比例越稳定。
比如说，一个推销员给自己定下任务，每年结识300个客户或潜在客户，并把关系维系好。那么，三年后，他就有接近1000个“样本”。
如果100个客户里会有3个长期客户，三年后，他就有大约30个能给他带来稳定收益的老客户。

欧洲有位大亨，每年都定下目标，要与1000个人交换名片，并与其中的200个人保持联络，与其中的50个人成为朋友。

5、无视样本大小
30多年前的一个下午，在芝加哥的一间咖啡馆里，特韦斯基和约翰·杜伊教授在悠然地喝着咖啡。特韦斯基貌似无心地问：有两家医院，在较大的医院每天都有 70个婴儿出生，较小的医院每天有20个婴儿出生。众所周知，生男生女的概率为50%。但是，每天的精确比例都在浮动，有时高于50%，有时低于50%。 在一年的时间中，每个医院都记录了超过60%的新生儿是男孩的日子，你认为哪个医院有更多这样的日子？

我们知道，大数法则需要很大的样本数才能发挥作用，基数越大，就越稳定。随着样本的增大，随机变量对平均数的偏离是不断下降的。所以，大医院更稳定。这一基本的统计概念显然与人们的直觉是不符的。
杜伊先生果然钻进了圈套，他认为较大的医院有更多超过60%的新生儿是男孩的日子。
一个整天向学生灌输大数法则的教授，自己居然不相信大数法则！
普通人又如何呢？

特韦斯基后来把这个问题做了严格的实验。22%的受试者认为较大的医院有更多这样的日子，而56%的受试者认为两个医院有相等的可能性，仅22%的受试者正确地认为较小的医院会有更多这样的日子。

6、小数法则
大数法则是统计学的基本常识，有人称为“统计学的灵魂”。大数法则虽然威力无穷，普通人却因其貌不扬而忽视。
针对人们在思考时常常无视大数法则的现象，特韦斯基提出了“小数法则”的概念。“小数法则”不是什么定律或法则，而是一种常见的心理误区。

用错误的心理学“小数法则”代替了正确的概率论大数法则，这是人们赌博心理大增的缘由。
小数法则是一种心理偏差，是人们将小样本中某事件的概率分布看成是总体分布。人们在不确定性的情形下，会抓住问题的某个特征直接推断结果，而不考虑这种特征出现的真实概率及与特征有关的其他原因。

总体分布：总体取值的概率分布规律 
在实践中，往往是从总体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计总体分布。 一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。

小数法则是一种直觉思维，很多情况下，它能帮助人们迅速地抓住问题的本质推断出结果，但有时也会造成严重的偏差。

7、做生意，不要相信“小数法则”

大数法则是一种统计定律；小数法则是一种心理偏差。

大数法则是一种科学；小数法则是一种迷信。

大数法则是中性词；小数法则是贬义词。

8、股神大哥的预测模式
行为经济学家马修·拉宾曾假设：如果你是一位投资者，你亲见一位基金经理在过去两年中的投资业绩好于平均情况。你是否就会得出这位经理要比一般经理优秀的结论？
你的结论？？？
然而真实的统计意义非常微弱。

让我们来看看股神大哥的预测股票的模式。
第一周发10000条短信，股神大哥预言某支股票的涨跌。其中5000条说某只股票涨，5000条说跌。
第二周股神大哥向其中说对的5000人再发一短信，其中2500条说某只股票涨，2500条说某只股票跌。
第三周他再向说对的2500人发短信，其中1250条说某只股票会涨，1250条说某只股票会跌。
最后有1250人，发现这位股神大哥连续3次说对某只股票的涨跌，简直太崇拜了。
其中有500人真的把钱交给他投资了。当然，如果赚钱是要分成的。

股神大哥拿到钱后会做什么呢？他会给这500个不同的账户各买一只股票，尽量让这些股票各不相同。一段时间过后，股票有的涨，有的跌。
如果一个人的账户买了一只涨的股票，他对股神阿猫就会更加信赖，甚至还会追加投资。
假如碰到一个大牛市，大部分时间里，大部分股票上涨概率大大超过下跌。因此，股神大哥的这种模式是非常有钱途的。
假如来了个大熊市，大部分股票在大部分时间下跌超过上涨，股神大哥也是不用负责，大不了退出江湖而已。

9、赌客谬误
小数法则的经典表现就是“赌客谬误”。

李太太一连生了五个女儿。
李太太：希望我们下一个孩子是男孩。
李先生：亲爱的，都生了五个女儿了，下一个肯定是儿子。
李先生对吗？
众所周知，掷硬币正、反面出现的概率为50%，在掷硬币游戏中，如果前几次大多数出现正面，那么很多人会相信下一次投掷很可能出现反面。这就是赌客谬误，也是很多赌客信心大增的原因。
赌客谬误的产生，是因为人们错误地诠释了“大数法则”的平均律。投资者倾向于认为大数法则适用于大样本的同时，也适用于小样本。

赌博是随机事件。
一枚硬币，连出三把都是正面，那么下一把出反面的概率仍然不会大于50%。
从理论上讲，硬币也好，骰子也好，既没有记忆，也没有良心，概率法则支配一切。

随便到一家合法的赌场，就能看到这种赌客“猜反正”的现象：
连输几次就该赢了
连出几次红就感觉该出黑了
连出几张小牌肯定该出大牌了

这是很多赌客感觉能战胜庄家的理论依据，甚至很多有学问的赌徒写的“赌经”，都明显带有这种错误。
10、连抛100下硬币，会一直出正面吗
在《黑天鹅》一书中，作者尼古拉斯·塔勒布向两个虚构人物请教一个问题。
一个是“肥佬汤尼”，一个粗俗的，靠投机钻营致富的家伙
一个是博士约翰，一位诚实的学者。

尼古拉斯：假设硬币是绝对公平的。连续抛出99次，每次都得到正面。我下一次得到反面的概率有多大？
约翰博士：“超简单！当然是50%，因为你假设硬币是绝对公平的。”
尼古拉斯：“汤尼，你认为呢？”
肥佬汤尼：“很显然，不会超过1%。”
尼古拉斯：“为什么？我最初假定硬币是公平的，每面都有50%的概率。”
肥佬汤尼：“这游戏是不公平的，这枚硬币里一定做了手脚。
谁相信所谓“50%”的说法，他要么是个草包，要么是个大草包。”
尼古拉斯：“但约翰博士说是50%。”
肥佬汤尼趴在在尼古拉斯耳边小声说：“我在银行当保安的时候，就曾经和这类傻瓜做同事，你可以利用他们赚大钱。”
肥佬汤尼认为，在硬币连抛99次，每次都得到正面的情况下，绝对均匀的假定是虚构的。

而约翰博士的回答可能代表了教科书的标准答案。
一枚绝对均匀的硬币，绝对公平地掷出。连续99次都是正，接下来要再掷出一次，你认为出正的概率大，还是出反的概率大？
A.出正概率大
B.出反概率大
C.各占50%

Jay是英国某著名大学的计量金融学博士，他很谨慎地选择了C。
此时，另一位朋友插进话来，非常确定地选择A。
笔者问：“为什么呢？”
这位朋友说：“因为我是教统计学的老师，并且这种事件，历史上真的曾经发生过。”
笔者：“那些钱币应该是两面都是正吧？”
教统计学老师：“嘿嘿，是的。”

这位讲师朋友所谓的曾经发生的事件，是一般概率课上都会讲到的一个典故。
宋朝大将狄青受命平叛。当时朝廷中主和、妥协派势力颇强，狄青所部亦有些将领怯战。
狄起兵祭旗，他手捧100枚铜钱，对众将士说，如果我扔下的100枚铜钱都是正面朝上，则必定是上天恩赐，让我们大胜而归。
许多将军都劝狄青不要这样做，狄青坚持。当他把100枚铜钱扔到地上时，众将士都不相信自己的眼睛，奇迹发生了，100枚铜钱全正面朝上。于是，士气大振。
狄青令人将100枚铜钱钉在地上，派重兵把守，若有人翻动铜钱，格杀勿论。
当狄青获胜班师回朝，把铜钱收回时，有一些将士才发现，这100枚铜钱两面都是正面。

11、延伸阅读：雅各布与大数法则
雅各布·贝努利（Jacob Bernoulli）
1654年生于瑞士，他没有遵照父亲的意思去当律师或经商，而是自学成为了一名数学家。

雅各布和牛顿生活在同一时代，他有着贝努利家族传统的自负心态，他认为自己和牛顿不相上下。
1703年，雅各布·贝努利率先提出了如何从样本中发现概率的问题。
雅各布教授自己的弟弟约翰数学。约翰和雅各布一样聪明，而且和他的哥哥一样，他是个对名声的追求近乎病态的人。
雅各布和弟弟约翰有一个习惯，就是对一个问题有竞争性地进行研究，并且在媒体中毫不留情地攻击对方。
雅各布虽然发现了大数法则，但由于兄弟俩在科学问题上过于激烈地争论，致使双方的家庭也被卷入。

雅各布死后，他的《猜度术》手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年，直到1713年才得以出版。
《猜度术》是雅各布·贝努利一生最有创造力的著作，在这部著作中，他提出了概率论中的“贝努利定理”，该定理是“大数法则”的最早形式。
为了说明大数法则，雅各布假设了一个装满3000枚白色石子和2000枚黑色石子的罐子，但外人不知道每个颜色的石子的数目。

我们从罐子中，按不断增加的数目取出石子，并在将它们放回瓶子之前，记录每枚石子的颜色。
如果我们取出越来越多的石子，最终我们会得到“接受必然的可能性”，也就是说，在实际事件上是必然的，但又不是绝对的必然,两种颜色石子的比率是3:2。
雅各布的计算显示，从罐子中取出2555枚石子后，则有大于1000/1001的概率使其结果与真实结果（3:2）间的差异在2%之内。也就是所谓的“接受必然的可能性”。
雅各布宣称，我们可以对任何不确定的数量进行科学的预测了。如果我们可以像“先知”一样，几乎能很准确地预言“事后”。

由于“大数法则”的极端重要性，1913年12月彼得堡科学院曾举行纪念大会，庆贺“大数法则”诞生200周年。
《猜度术》是概率论的第一部奠基性著作，所含概率思想具有划时代的重大意义，可谓对概率论做出了决定性的贡献，推进了概率论的进一步发展。因而其出版是概率论成为独立数学分支的标志。