codeforces1029 E.Tree with Small Distances
题意：给出一个 \(n\) 个结点的树，问如何选择结点进行连线使得结点\(1\)到其他所有结点的最短距离都小于等于 \(2\) 。
题解：这道题倒是自己想出来了。
首先有个结论：连线都是从结点1向其他结点连线，因为这样总是最优的。
由题意可知，当结点\(1\)向某个节点 \(u\) 连线后，与结点 \(u\) 直接相连的所有结点都能满足条件。
考虑树形dp。
\(d[u][0]\):结点u的子结点都满足条件，但是结点u不满足
\(d[u][1]\):结点u的子树(包括 \(u\) 自己)都满足条件，但结点u没有被连线
\(d[u][2]\):结点u的子树(包括 \(u\) 自己)都满足条件，且结点u与节点1连线
那么，对于叶子结点:
\(d[u][0]=0,d[u][1]=inf,d[u][2]=1\)
对于非叶子结点 \(u\) 和它的子结点\(v\):
\(d[u][0]=\sum d[v][1];\)
\(d[u][2]=\sum min(d[v][0],min(d[v][1],d[v][2]))+1\)
\(d[u][1]=\sum min(d[v][1],d[v][2]);\) //在这个式子中必须保证有至少一个子结点\(v\) 取的是 \(d[v][2]\) 。
代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
#define rep(i,a,n) for (int i=a;i<n;i++)
#define per(i,a,n) for (int i=n-1;i>=a;i--)
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define dbg(...) cerr<<"["<<#__VA_ARGS__":"<<(__VA_ARGS__)<<"]"<<endl;
typedef vector<int> VI;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int inf=0x3fffffff;
const ll mod=1000000007;
const int maxn=2e5+10;
int head[maxn],dep[maxn];
int tol;
int d[maxn][3];
struct edge
{
int to,next;
}e[maxn*2];
void add(int u,int v)
{
e[++tol].to=v,e[tol].next=head[u],head[u]=tol;
e[++tol].to=u,e[tol].next=head[v],head[v]=tol;
}
int cnt[maxn]; //节点度数
//d[u][0]-结点u的子结点都满足条件，但是结点u不满足
//d[u][1]-结点u的子树(包括u自己)都满足条件，但结点u没有被连线
//d[u][2]-结点u的子树(包括u自己)都满足条件，且结点u与节点1连线
void dfs(int u,int f)
{
dep[u]=dep[f]+1;
d[u][0]=0;
d[u][1]=cnt[u]==1? 1e6:0;
d[u][2]=1;
int mi=1e9;
for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==f) continue;
dfs(v,u);
d[u][0]+=d[v][1];
d[u][1]+=min(d[v][1],d[v][2]);
mi=min(mi,d[v][2]-d[v][1]);
d[u][2]+=min(d[v][0],min(d[v][1],d[v][2]));
rep(i,0,3) if(d[u][i]>1e6) d[u][i]=1e6;
}
if(mi>0) d[u][1]+=mi;
rep(i,0,3) if(d[u][i]>1e6) d[u][i]=1e6;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
rep(i,1,n)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
cnt[u]++,cnt[v]++;
add(u,v);
}
dfs(1,0);
int ans=0;
rep(i,1,n+1) if(dep[i]==3) ans+=min(d[i][0],min(d[i][1],d[i][2]));
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
