拉普拉斯方程在球、柱坐标系下的解

拉普拉斯方程在球、柱坐标系下的解

• • 球坐标系下的拉普拉斯方程解
  • 柱坐标系下的拉普拉斯方程解

球坐标系下的拉普拉斯方程解

1. 球坐标系下的拉普拉斯方程形式
   $$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2\frac{\partial u}{\partial r})+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta })+\frac{1}{r^{2}si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}=0$$
2. 分离线量$r$，角量$\theta 、\phi$
   令$u(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )$，代入方程后分离变量
   得到$$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}(r^2\frac{dR}{dr})=\frac{-1}{Ysin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })-\frac{1}{Y}\frac{1}{si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}$$
   由于线量、角量各自独立，因此上式的值只能为常数，令此常数为 $l(l+1)$
   于是得到两个常微分方程
   其中，关于$r$的方程易解得$$R(r)=C{r}^l+D{r}^{-(l+1)}$$
   关于角量的方程$$\frac{1}{sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta })+\frac{1}{si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^{2}Y}{\partial {\phi }^2}+Yl(l+1)=0$$此式称为球函数方程
3. 分离球函数方程
   取$Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi )$，代入球函数方程可得$$\frac{sin\theta }{\Theta }\frac{d}{d\theta }(sin\theta \frac{d\Theta }{d\theta })+l(l+1)si{n}^2\theta =-\frac{1}{\Phi }\frac{d^2\Phi }{d{\phi }^2}$$同样的，由于θ与φ独立，所以等式的值只能为常数，令此常数为$\lambda$
   于是得到分别关于$\phi ,\theta$的两个方程
   其中φ的构成"本征值问题"$$\lambda =m^2$$$$\Phi (\phi )=Acosm\phi +Bsinm\phi$$
4. 对θ的方程进行变化
   令$x=cos\theta$，于是得到勒让德方程
   $$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d\Theta }{d\theta }]+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]\Theta =0$$

柱坐标系下的拉普拉斯方程解

• 柱坐标系下的拉普拉斯方程形式
  $$\rho \frac{\partial }{\partial \rho }(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho })+\frac{1}{{\rho }^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$$