电磁场与电磁波-1-坐标系单位矢量的变换

坐标系单位矢量的变换

• 柱坐标系---直角坐标系
• 球坐标系------柱坐标系
• 直角坐标系---球坐标系

柱坐标系—直角坐标系

两坐标系具有共同的$z$变量

• 下面写出其坐标表示$$(\rho ,\phi ,z)\to (x,y,z)$$
• 以俯视图表达矢量关系
• 据此可列写关系式如下$$e_x=e_{\rho }cos\phi -e_{\phi }sin\phi$$$$e_y=e_{\phi }sin\phi +e_{\phi }cos\phi$$$$e_z=e_z$$
• 将数学表达式转化为矩阵形式$$\left[\begin{array}{c}{e}_x\\ e_y\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\phi & -sin\phi & 0\\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]$$
• 当然，若想将从直角坐标系转为柱坐标系，只需对上式求逆即可。对于方阵，一个重要性质是$A^{-1}=A^T$，因此，我们只需对上述矩阵转置即可。下面给出结果$$\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\phi & sin\phi & 0\\ -sin\phi & cos\phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_x\\ e_y\\ e_z\end{array}\right]$$

球坐标系------柱坐标系

两坐标系具有共同的$\phi$变量

• 下面给出其坐标表示$$(r,\theta ,\phi )\to (\rho ,\phi ,z)$$
• 以正视图表达两者的坐标单位矢量关系
• 据此可列写关系式如下$$e_z=e_{r}cos\theta -e_{\theta }sin\theta$$ $$e\rho =e_{r}sin\theta +e_{\theta }cos\theta$$ $$e_{\phi }=e_{\phi }$$
• 将其转化为矩阵形式如下
  $$\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\\ cos\theta & -sin\theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_r\\ e_{\theta }\\ e_{\phi }\end{array}\right]$$
• 同理，可将柱坐标系转换为球坐标系，只需求其逆。下面给出结果$$\left[\begin{array}{c}{e}_r\\ e_{\theta }\\ e_{\phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}sin\theta & 0& cos\theta \\ cos\theta & 0& -sin\theta \\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]$$

直角坐标系—球坐标系

由于直角坐标系和球坐标系没有相同元素，因此前文的方法不再适用（再用要付出代价！）
我们采用的办法是：利用已有结果进行迭代

• 将直角坐标系与柱坐标系的关系式代入柱坐标系与球坐标系的关系式中，可以得到直角坐标系与球坐标系的关系式
• 联立两式$$\left[\begin{array}{c}{e}_x\\ e_y\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}cos\phi & -sin\phi & 0\\ sin\phi & cos\phi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]$$ $$\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\\ cos\theta & -sin\theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_r\\ e_{\theta }\\ e_{\phi }\end{array}\right]$$
• 于是得到$$\left[\begin{array}{c}{e}_x\\ e_y\\ e_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}sin\theta cos\phi & cos\theta cos\phi & -sin\phi \\ sin\theta sin\phi & cos\theta sin\phi & cos\phi \\ cos\theta & -sin\theta & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_r\\ e_{\theta }\\ e_{\phi }\end{array}\right]$$
• 同理可求其逆得到直角坐标系向球坐标系转化的公式，下面直接给出结果$$\left[\begin{array}{c}{e}_r\\ e_{\theta }\\ e_{\phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}sin\theta cos\phi & sin\theta sin\phi & cos\theta \\ cos\theta cos\phi & cos\theta sin\phi & -sin\theta \\ -sin\phi & cos\phi & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_{\rho }\\ e_{\phi }\\ e_z\end{array}\right]$$