信号与系统-1-线性时不变系统
线性时不变系统的证明
前情提要
对于一般系统，我们总要判断它究竟是何种系统，或者说验证其某种性质。
简单起见，我们此处只着重讨论“线性”、“时不变性”的判断。
在此之前，需要阐明一些规定：
对于输入信号，我们将其对系统的激励表示为 e ( t ) e(t) e(t)； 系统对此激励的响应则表示为 r ( t ) r(t) r(t)
这两者间存在某种运算关系，表示为 r ( t ) = T [ e ( t ) ] r(t)=T[e(t)] r(t)=T[e(t)]（T为transform的缩写）
并且T运算的顺序为：先平移，后尺度；只对e变换，不对其它部分变换
示例：若 r ( t ) = T [ e ( t ) ] = t e ( 2 t ) , r(t)=T[e(t)]=te(2t), r(t)=T[e(t)]=te(2t),则 r ( t − t 0 ) = ( t − t 0 ) e [ 2 ( t − t 0 ) ] r(t-t_0)=(t-t_0)e[2(t-t_0)] r(t−t0)=(t−t0)e[2(t−t0)]，而 T [ e ( t − t 0 ) ] = t e ( 2 t − t 0 ) T[e(t-t_0)]=te(2t-t_0) T[e(t−t0)]=te(2t−t0)
“线性”特性的判断
- 首先可令 r ( t ) = r 1 ( t ) + r 2 ( t ) r(t)=r_1(t)+r_2(t) r(t)=r1(t)+r2(t)，从而有 r 1 ( t ) = T [ e 1 ( t ) ] ， r 2 ( t ) = T [ e 2 ( t ) ] r_1(t)=T[e_1(t)]，r_2(t)=T[e_2(t)] r1(t)=T[e1(t)]，r2(t)=T[e2(t)]
- 若下式成立 T [ C 1 e 1 ( t ) + C 2 e 2 ( t ) ] = C 1 r 1 ( t ) + C 2 r 2 ( t ) T[C_1e_1(t)+C_2e_2(t)]=C_1r_1(t)+C_2r_2(t) T[C1e1(t)+C2e2(t)]=C1r1(t)+C2r2(t)
- 则称：该系统为线性系统
“时不变”特性的判断
- 判断等式 r ( t − t 0 ) = T [ e ( t − t 0 ) ] r(t-t_0)=T[e(t-t_0)] r(t−t0)=T[e(t−t0)]是否成立，若成立，则称该系统为’时不变‘系统
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