数字电子技术基础-2-逻辑函数的最小项与最大项

最小项与最大项

• 最小项
• • 定义
  • 编号
  • 重要性质
• 最大项
• • 定义
• 最小项与最大项之关系

在了解逻辑函数的两种标准形式之前，需要首先明白何为最小项、何为最大项

最小项

定义

这里我们首先摘出《数字电子技术基础》(阎石第五版)的定义

在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则m称为该组变量的最小项

也许你看这段文字时表示很懵逼，因此接下来我们给出具体的例子，相信聪明的你们很快就能明白其含义

首先给出 “n变量”，假定就是A、B、C吧，利用这n个变量（或其反变量）组成乘积项m, 例如$ABC、A^{\prime }BC$等等，则m就是这n个变量的最小项

注意，这些变量在m中的位置是不可变的

按照数学推导，我们知道，对于n个变量，其最小项m应有$2^n$个

编号

下面，我们假定组成最小项m的每一位变量的原变量都表示1，而反变量表示0，并且按照位次排序，例如$A{B}^{\prime }C=101$

下面，我们要做的是：认为转换得到的这组数为二进制数，从而可将其转换为十进制数，例如$A{B}^{\prime }C=(101{)}_2=5$，我们记其为$m_5$，相应的，若十进制数为7，则记为$m_7$

重要性质

以下的性质均从最小项的定义出发

1. 在输入变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1

2. 全体最小项之和为1
   $$proof:{将}^{\prime }{和}^{\prime }理解为逻辑运算{符}^{\prime }{或}^{\prime }$$

3. 任意两个最小项的乘积为0
   $$proof:{将}^{\prime }乘{积}^{\prime }理解为逻辑运算{符}^{\prime }{与}^{\prime }$$

4. 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子
   $$proof：利用逻辑运算性质A+A^{\prime }=1即可证明$$

最大项

定义

$Y=A+B^{\prime }+C=(010{)}_2=M_2$
$Y=(A+B+C^{\prime })(A^{\prime }+B+C)=(001{)}_2(100{)}_2=\prod M(1,4)$

可见，在最大项中：原变量视为0，反变量视为1

最小项与最大项之关系

若给定$Y=ABC+A^{\prime }BC=\sum m(3,7)$
则$Y^{\prime }=\sum m(1,2,4,5,6)=\prod M(1,2,4,5,6)$

由此可知，若已知逻辑函数的最小项之和，则其最大项之积，反函数的最小项之和、最大项之积均可知