arc165F

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题目描述：

给定 \(n\) 和一个长度为 \(2n\) 的序列 \(a\)，满足 \([1,n]\) 每个数恰好出现两次。

每一次操作可以交换相邻的两个数，询问最少多少次操作可以使得序列 \(a\) 满足 \(\forall i\in[1,n]\ a_{2\times i}=a_{2\times i+1}\)。

在保证为最小操作次数的前提下，输出所有可以得到序列中字典序最小的那一个。

对于 \(100\%\) 的数据，满足：\(1≤n≤2×10^5\)。

题目分析：

先不考虑字典序最小，考虑操作数最小怎么得到。

若只有两个数，那么可能出现的情况只有两种：\(1221\) 和 \(1212\)。

显然第一个变成 \(1122\) 和 \(2211\) 的操作数最小，第二个变成 \(1122\) 的操作数最小。

扩展一下，对于一个数 \(i\)，第一次出现的位置记为 \(l_i\)，第二次出现的位置记为 \(r_i\)。

那么对于任意的 \(i,j\)，满足 \(l_i<l_j\) 并且 \(r_i<r_j\)，那么就让 \(i\) 向 \(j\) 连边，最后求一个最小拓扑序即可。

发现边的个数是 \(n^2\) 的，考虑怎么优化建图：

如果只有一维，即只有 \(l_i<l_j\)，可以直接排序后前缀优化建图。

但是现在有两维，分治把第一维给去掉，这样就可以 \(O(n\log n)\) 建图并且求解了。

代码：

点击查看代码

const int INF=1e9+7;
const int N=4e5+7;

int pos1[N],pos2[N],deg[N*50];
int n,a[N],L[N],R[N],tot,b[N];
vector<int> G[N*50];

bool cmp(int a,int b){
    return L[a]<L[b];
}

void add(int u,int v){
    G[u].p_b(v);
    deg[v]++;
}

void solve(int l,int r){
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    solve(l,mid);solve(mid+1,r);
    int posl=l,posr=mid+1;
    for (int i=l;i<=mid;i++){
        ++tot;pos1[i]=tot;add(a[i],pos1[i]);
        if (i!=l) add(pos1[i-1],pos1[i]);
    }
    for (int i=r;i>mid;i--){
        ++tot;pos2[i]=tot;add(pos2[i],a[i]);
        if (i!=r) add(pos2[i],pos2[i+1]);
    }
    int cnt=l-1;
    while(posl<=mid&&posr<=r){
        if (R[a[posl]]<R[a[posr]]) add(pos1[posl],pos2[posr]),b[++cnt]=a[posl],posl++;
        else b[++cnt]=a[posr],posr++;
    }
    while(posl<=mid) b[++cnt]=a[posl],posl++;
    while(posr<=r) add(pos1[mid],pos2[posr]),b[++cnt]=a[posr],posr++;
    for (int i=l;i<=r;i++) a[i]=b[i];
}

void topo(){
    queue<int> q1;
    priority_queue<int> q2;
    for (int i=1;i<=tot;i++){
        if (!deg[i]){
            if (i<=n) q2.push(-i);
            else q1.push(i);
        }
    }
    while((!q1.empty())||(!q2.empty())){
        int u;
        if (q1.empty()) u=-q2.top(),q2.pop();
        else u=q1.front(),q1.pop();
        if (u<=n) printf("%d %d ",u,u);
        for (auto v:G[u]){
            deg[v]--;
            if (!deg[v]){
                if (v<=n) q2.push(-v);
                else q1.push(v);
            }
        }
    }
}

signed main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=2*n;i++){
        int x=read();
        if (!L[x]) L[x]=i;
        else R[x]=i;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    tot=n;
    solve(1,n);
    topo();
    return 0;
}