不动点的O(logn)时间算法(王晓东 算法分析2-8)

问题描述设n个不同的整数排好序后存于T[1：n]中。若存在下标i，1<=i<=n,使得T[i]=i,设计一个有效算法找到这个下标。要求算法在最坏情况下的计算时间为O(logn).

分析与解答：

由于n个整数是不同的，因此对任意1<=i<=n-1有T[i]<=T[i+1]-1

假设有n个数A1 A2 A3 ... A(i-1) Ai A(i+1) ... An

对应下标为  1   2    3   ...  i-1     i     i+1    ...  n

如果Ai>i 则，由于下标是连续增长的，整数序列可能不是连续的，所以对于j>=i 有Aj-Ai >= j-i;

 如果Ai<i则，同理，对于j<=i有，Ai-Aj >= i - j;

故有如下结论：

(1)对于1<i<=n-1，当T[i]>i时，对任意的i<=j<n，有T[j]-T[i] >= j-i，即T[j]>=T[i]+j-i>i+j-i=j

(2)对于1<i<=n，当T[i]<i时，对任意的1<=j<i，有T[i]-T[j] >= i-j，即T[j]<=T[i]-i+j<i-i+j=j

由（1）和（2）可知，用二分搜索算法可以在O(logn)时间内找到所要的下标。

非递归二分搜索：

int BinarySearch(int T[],int i,int n)

{

    int low,high,mid;

    low=0;high=n-1;

    while(low<=high)

          {

              mid=(low+high)>>1;

              if(i==T[mid])

                  {

                   printf("key %d is found,subscript is %d\n",i,mid)

                    return mid;

                  }

             else if(i>T[mid])

                      low=mid+1;

              else

                     high=mid+1;

       }

}