质数问题

质数常用性质

两个连续的自然数一定是互质数。如：4和5、13和14是互质数。

相邻的两个奇数一定是互质数。如：5和7、75和77是互质数。

两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。如：3和19、16和97是互质数。

两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。如：2和15、7和54是互质数。

较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。如：13和27、13和25是互质数。

两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。

两个数的最小公倍数分别除以这两个数，所得的商一定互质。

两个互质的数a和b最小不能表示的数就是(a-1)(b-1)-1，也就是说两个互质的数a，b可以表示(a-1)(b-1)之后的所有数字。

中间是偶数的连续三个自然数互质。

6倍高效判断素数法

除了2和3外，其余素数都与6的倍数相邻，这些素数都满足6n±1。

这是个trivial的素数分布特征，因模6的余数中只有1和5与6互素，故从5开始的素数必与6的倍数相邻。

//从5开始,如果能整除6n+-1,肯定是合数
bool isprime(int num){
    if(num==2||num==3){return true;}
    if(num%6!=1&&num%6!=5){return false;}
    int len=(int)sqrt(num);
    for(int i=5;i<=len;i+=6){
        if(num%i==0||num%(i+2)==0)
            return false;
    }
    return true;
}

区间[1,n]埃式筛法

时间复杂度：O(nlogn)

[证明]

调和级数

vector<int> get_primes(int n) {
	vector<int> res(n + 1, 1);
	res[0] = res[1] = 0;
	int len = sqrt(n);
	for (int i = 2; i <= len; i++) {
		if (res[i]) {
			for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
				res[j] = 0;
			}
		}
		return res;
	}

区间[1,n]线性筛

时间复杂度：O(n)

//return:范围[1,n]的素数个数
const int N=1e8+10;
int pr[N],cnt;
bool vis[N];
int init(int n){
    int res=0;
	for(int i = 2; i<=n; i++){
		if(!vis[i]) pr[cnt++] = i,res++;
		for(int j = 0; j <cnt&&(1ll)*pr[j]*i<=n; j++){
			vis[pr[j] * i] = true;
			if(i % pr[j] == 0) break;//确保每个数被自己的最小质数筛掉
		}
	}
    return res;
}

区间[l,r]质数判断

const int N=50010;
int l,r,cnt;
int pr[N],ispr[N];
void init(){
    ispr[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!ispr[i]){
            pr[++cnt]=i;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){
            ispr[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]==0) break;//确保每个数被自己的最小质数筛掉
        }
    }
}
int ans[1000010],res=0;
void solve(){
    cin>>l>>r;
    init();
    for(int i=1;i<cnt&&pr[i]<=r;i++){
        for(ll j=max(2,(l+pr[i]-1)/pr[i]);j*pr[i]<=(ll)r;j++){
            ans[j*pr[i]-l]=1;
        }
    }
    if(l<=1) ans[1-l]=1;
    for(int i=0;i<=r-l;i++){
        if(!ans[i]) res++;
    }
    cout<<res;
}