倍增算法学习指南

前置芝士

倍增思想

ST表

（Sparse Table，稀疏表）是一种简单的数据结构，解决RMQ（区间最大/最小值查询）问题。主要应用倍增思想。O(NlogN)的预处理，O(1)的查询。ST 表是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。

[预处理ST表]

倍增法递推：用两个等长小区间拼凑一个大区间。

f[i][j]表示以第i个数为起点，长度为$2^j$的区间中的最大值，先算出并存$maxi∈[i,i+2^j)$

公式：$f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$

int f[MAXN][21];//第二维的大小根据数据范围决定，不小于log(MAXN)
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>f[i][0];
for(int j=1;j<=20;j++)
    for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
	f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1])

[区间查询最值]

对查询区间$[l,r]$做分割，并拼凑区间长度指数$k=log_2(r-l+1)$

公式：$max([l,r])=max(f[l][k],f[r-2^k+1][k])$

for(int i=2;i<=n;i++) log2[i]=log2[i/2]+1;//预处理log2
int k=log2[r-l+1];
int res=max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);

可重复贡献问题?????