拓扑图学习指南

前置芝士

拓扑算法经常结合于其他高级算法，注重培养拓扑的核心思想，解决实际问题。

拓扑排序

拓扑排序是一种在有向无环图（DAG）中对节点进行排序的算法，其中每个节点表示一个任务或活动，并且边表示任务之间的依赖关系。

在拓扑排序中，排在前面的节点不依赖于排在后面的节点，因此可以按照一定的顺序依次执行这些任务或活动。

Kahn算法（卡恩）

时间复杂度：O(N+M)

[算法流程]

• 初始化一个队列（FIFO）和一个存储结果的列表。
• 统计每个节点的入度（即节点有多少个前驱节点），并将入度为0的节点加入队列。
• 当队列非空时，执行以下步骤：
  a. 从队列中取出一个节点。
  b. 将该节点添加到结果列表。
  c. 遍历该节点的所有邻居节点：
  • 将邻居节点的入度减1。
  • 若邻居节点的入度为0，将其加入队列。
• 遍历结束后，如果结果列表的长度等于图中节点的个数，则拓扑排序成功；否则，图中存在环，无法进行拓扑排序。
• 求字典序最小的拓扑序，将Kahn算法中的队列转为优先队列（小根堆）

最长路

[problem description]

设 $G$ 为有 $n$ 个顶点的带权有向无环图，$G$ 中各顶点的编号为 $1$ 到 $n$，请设计算法，计算图 $G$ 中 $1, n$ 间的最长路径。

[input]

输入的第一行有两个整数，分别代表图的点数 $n$ 和边数 $m$。

第 $2$ 到第 $(m + 1)$ 行，每行 $3$ 个整数 $u, v, w$（$u<v$），代表存在一条从 $u$ 到 $v$ 边权为 $w$ 的边。

[output]

输出一行一个整数，代表 $1$ 到 $n$ 的最长路。

若 $1$ 无法到达 $n$，请输出 $-1$。

$1 \leq n \leq 1500$，$0 \leq m \leq 5 \times 10^4$，$1 \leq u, v \leq n$，$-10^5 \leq w \leq 10^5$。

[solved]

int n,m;
const int N=1510;
vector<int> e[N],d[N];
int w[N],din[N],f[N];
queue<int> q;
void solve(){
	cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y,w;
        cin>>x>>y>>w;
        e[x].push_back(y);
        d[x].push_back(w);
        din[y]++;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        f[i]=-1e9;
        if(!din[i]) q.push(i);
    }
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<e[x].size();i++){
            if(!--din[e[x][i]]) q.push(e[x][i]);
        }
    }
    q.push(1);
    while(!q.empty()){
        int x=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<e[x].size();i++){
            int v=e[x][i];
            if(f[v]<f[x]+d[x][i]) f[v]=f[x]+d[x][i];
            if(!--din[v]) q.push(v);
        }
    }
    if(f[n]==-1e9) cout<<"-1";
    else cout<<f[n];
}