数学

 

1. 判断一个数n是否是质数 

　　质数:大于1的自然数，并且只能被1和它自身整除的数

（1）从2开始除该数直到n-1

bool isPrime_v1(long naturalNum)
{
    if(naturalNum <= 1) {
        return false;
    }
    for(int i=2;i<naturalNum-1;i++) {
        if((naturalNum % i) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

（2）循环次数优化

　　如果n是一个合数，则存在两个非1的数a、b，其中 a≤sqrt(n)  b≥sqrt(n)

bool isPrime_v2(long naturalNum) {
    if(naturalNum <= 1) {
        return false;
    }
    for(int i = 2;i*i<=naturalNum;i++) {
        if((naturalNum % i) == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

 

（3）

 

 

2. 质因数分解

　　输入一个long数，返回一个字符串

string factorization(long naturalNum)
{
    ostringstream ostr;
    long n = 2;
    while(naturalNum>=n) {
        while(naturalNum % n != 0) {
            n++;//不能整除
        }
        ostr<<n<<" ";
        naturalNum /= n;
    }
    return ostr.str();
}

 

 

 

3. 求x和y的最小公倍数与最大 公约数

　　x*y 等于 最小公倍数*最大公约数　　

　　求最大公约数：

　　（1）质因数分解法

　　　　x、y分解成其各自质因数相乘，公共的质因数的乘积就是最大公约数

void multisetRes(int x,multiset<int> &xset)
{
    int n = 2;
    while(x>=n) {
        while(x%n != 0) {
            ++n;
        }
        xset.insert(n);
        x /= n;
    }
}

int gcd_v3(int x,int y)
{
    multiset<int> xset,yset;
    multisetRes(x,xset);
    multisetRes(y,yset);
    int res = 1;
    for(auto i=xset.begin();i!=xset.end();i++) {
        auto j = yset.find(*i);
        if(j != yset.end()) {
            res *= (*i);
            yset.erase(j);
        }
    }
    return res;
}

 

　　（2）辗转相除法

　　　　用较大的数除以较小的数

　　　　　　①如果余数为0，则较小的数就是最大公约数

　　　　　　②余数不为0，用上一步较小的数（除数）除以此余数（这个余数肯定比那个除数小）

　　　　重复。

　　循环：

int gcd(int x,int y)
{
    x = abs(x);
    y = abs(y);
    int z = 0;
    if(x<y) { //其实这个交换没必要，如果前一个较小的话，经过一次while循环x会变成较大数
        z = x;
        x = y;
        y = z;
    }
    while(x%y != 0) {
        z = x % y;
        x = y;
        y = z;
    }
    return y;
}

 

　　递归：

int gcd2(int x,int y)
{
    x = abs(x);
    y = abs(y);
    if(x%y == 0) {
        return y;
    }
    else {
        return gcd2(y,x%y);
    }
}

 

 

　　（3）更相减损术

　　　　①两个正整数x、y，如果都是偶数，则用2约，直到不能约

　　　　②较大数减较小数；差与较小数比较，继续用较大的减较小的，直到 减数和差 相等

　　　　之前约掉的若干个2与等数的乘积就是最大公约数（也可以不用2去约，直接重复执行②）

int gcd_v2(int x,int y)
{
    x = abs(x);
    y = abs(y);
    while(x != y) {
        if(x<y) {
            y = y - x;
        }
        else {
            x = x - y;
        }
    }
    return x; //return y;
}

　　递归：

int gcd2_v2(int x,int y)
{
    x = abs(x);
    y = abs(y);
    if(x == y) {
        return x;
    }
    else {
        if(x<y) {
            return gcd2_v2(x,y-x);
        }
        else {
            return gcd2_v2(y,x-y);
        }
    }
}

 

　　

　　（4）

 

 

4. 四舍五入

int rounding(double n)
{
//    int r = n;
//    r = n-r<0.5?r:r+1;
//上面的这种方法不行：如输入3.4999999999999999999999，则由于精确度的关系这个数小数部分在比较时可能大于0.5
    int r = n*10;
    r = r%10<5?(int)n:(int)n+1;
    return r;
}

 

5.