棋盘覆盖问题

虽然这个问题已经在网上被讨论遍了，但是最近从新拾起算法，感觉有必要夯实一下基础。

棋盘覆盖问题：
首先大致描述一下题目：
在一个2^k×2^k个方格组成的棋盘中,若有一个方格与其他方格不同,则称该方格为一特殊方格,且称该棋盘为一个特殊棋盘.显然特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形.因而对任何
k≥0,有4^k种不同的特殊棋盘.
下图–图(1)中的特殊棋盘是当k=2时16个特殊棋盘中的一个：

 

 

 图(1)

题目要求在棋盘覆盖问题中,要用下图—图(2)所示的4种不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格,且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖.

 

 图(2)

思路分析：
当k>0时,将2^k×2^k棋盘分割为4个2^k－1×2^k－1子棋盘,如下图–图(3)所示：

 

 图(3)

特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中,其余3个子棋盘中无特殊方格.为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘,可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处。
如下图–图(4)所示,这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格,从而原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题.递归地使用这种分割,直至棋盘简化为1×1棋盘。

 

 以下是代码：

/*
Author: Tanky Woo
Blog:   www.WuTianQi.com
棋盘覆盖问题
分治法
2010-12-3
*/
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 11;
int Board[N][N];
int tile = 0;
 
/*
tr:棋盘左上角方格的行号
tc:棋盘左上角方格的列号
dr:特殊方格所在的行号
dc:特殊方格所在的列号
size:方形棋盘的边长
*/
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    if(size == 1)
        return;
    int t = ++tile, s = size/2;
 
    //覆盖左上角子棋盘
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)
        //特殊方格在此棋盘中
        ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
    else   // 此棋盘无特殊方格
    {
        // 用t号L型骨型牌覆盖右下角
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        // 覆盖其余方格
        ChessBoard(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);
    }
 
    //覆盖右上角子棋盘
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr, tc+s, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s-1][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr, tc+s, tr+s-1, tc+s, s);
    }
 
    //覆盖左下角子棋盘
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
        ChessBoard(tr+s, tc, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s-1] = t;
        ChessBoard(tr+s, tc, tr+s, tc+s-1, s);
    }
 
    //覆盖右下角子棋盘
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
        ChessBoard(tr+s, tc+s, dr, dc, s);
    else
    {
        Board[tr+s][tc+s] = t;
        ChessBoard(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s);
    }
}
 
void DisplayBoard(int size)
{
    for(int i=1; i<=size; ++i)
    {
        for(int j=1; j<=size; ++j)
            printf("%2d ", Board[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
 
int main()
{
    ChessBoard(1, 1, 1, 2, 4);
    DisplayBoard(4);
    return 0;
}