02197概率论与数理统计 2023年10月真题解析

单选题

设AB为随机事件,则 $\overline{AB}=$ (D)
解: 摩根律 $\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B} \quad \overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$
设A,B是事件,且 $P(A)=0.4, P(A\overline{B})=0.3, 则P(B|A)=$ ( A )
解:

P (\bar{B} | A) = \frac{P (A \bar{B})}{P (A)} = \frac{0.3}{0.4} = \frac{3}{4} P (B | A) + P (\bar{B} | A) = 1 \Rightarrow P (B | A) = 1 - P (\bar{B} | A) = \frac{1}{4}

$P(\overline{B}|A) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(A)}= \dfrac{0.3}{0.4}=\dfrac{3}{4} \\ P(B|A) + P(\overline{B}|A) = 1 \Rightarrow P(B|A) = 1-P(\overline{B}|A) = \dfrac{1}{4}$

设随机变量 $x\thicksim N(-3,2)$ , 则下列变量服从标准正态分布式的是(B)
解:

x \sim (u, σ^{2}) Z = (\frac{x - u}{σ}) \sim N (0, 1) u = - 3 σ = \sqrt{2} Z = \frac{x + 3}{\sqrt{2}} \sim N (0, 1)

$x\thicksim(u,\sigma^2) \quad Z=(\dfrac{x-u}{\sigma})\thicksim N(0,1)\\ \\u=-3 \quad \sigma=\sqrt{2}\\ Z= \dfrac{x+3}{\sqrt{2}} \thicksim N(0,1)$

设随机变量的分布率为如下, 则 $P\{x\geqslant 1\}$ = (C)

x	0	1	2
p	$\dfrac{1}{4}$	c	2c

解: $P\{x\geqslant 1\} = 1- p\{x<1\} = 1- \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

设x服从区间[0,3]上的均匀分布,则 (B)
解: $P(|x|<1 ) = P(-1<x<1) = P(0<x<1) =\dfrac{1}{3}$
设二维变量x,y的分布率如下.则 $p \lbrace y-x\geqslant 1\rbrace$ = (C)

xy	1	2
0	0.1	0.2
1	0.4	0.3

解: $p \lbrace y-x\geqslant 1\rbrace = p(1,0)+ p(2,0)+p(2,1) = 0.6$

设x,y 相互独立, 分别服从参数为2,3的泊松分布,则 $P(x+y = 0)=$ (A)
解:
$x+y=0 又x>0, y>0 \Rightarrow x=0,y=0\\ p(x=0) = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}, \lambda = 2\\ p(x=0)=e^{-2}\\ 同理: p(y=0)=e^{-3}\\ p(x+y==0)=p(x=0,y=0)=e^{-2}\cdot e^{-3} = e^{-5}$
x,y 相互独立, $D(x)=3, D(y)=2, D(2x+y)=$ (C)
解:
$D(2x) = 4D(x) = 12 D(2x+y) =12+2 = 14 (因为x,y 相互独立)$
E(xy)= (C)

xy	2	3
0	0.2	0
1	0.3	0.5

E (x y) = 0.2 \times 0 \times 2 + 0 \times 0 \times 3 + 0.3 \times 1 \times 2 + 0.5 \times 1 \times 3 = 2.1

$E(xy) = 0.2\times 0\times2 + 0\times0\times3 + 0.3\times1\times2 + 0.5\times1\times3=2.1$

设总体 $x\thicksim N(u, \sigma^2),x_1,x_2,...x_n$ 是来自x的样本,其中 $\sigma^2$ 未知, $\overline{x} 与s^2$ 分别是样本均值和样本方差, 检验假设 $h_0:u=1;h_1:u\neq 1$ 采用的检验统计量为(A)

填空题

A,B 是随机事件,则A，B 至少有一个发生表示为( $A\cup B$ )
盒子中又3个白球两个红球不放回的取出两球, 第二次才取到白球的概率为( $\dfrac{3}{10}$ )
解:

P = \frac{c_{2}^{1}}{c_{5}^{1}} \times \frac{c_{3}^{1}}{c_{4}^{1}} = \frac{3}{10}

$P= \dfrac{c_2^1}{c_5^1}\times\dfrac{c_3^1}{c_4^1}= \dfrac{3}{10}$

A,B 相互独立., $p(A) = 0.6 , p(B) = 0.5, p(A\cup B)=(0.8)$
解: $P(A\cup B) = 1 - P(\overline{AB})$ = 0.8
随机变量x的分布率如下, F(x) 是x的分布函数F(1.5)=( $\dfrac{5}{6}$ )

x	-1	1	2
p	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{6}$

解:
$F(1.5) = P (x<1.5) = P(-1) + p(1) = \dfrac{5}{6}$

随机变量x的概率密度为 $\begin{cases}c\sqrt{x} & 0\leqslant x \leqslant 1 \newline 0 & 其他\end{cases} 则常数$ c= (\dfrac{3}{2})$
解:

\int_{0}^{1} c \sqrt{x} d x = 1 \frac{2 c}{3} x^{\frac{3}{2}} |_{0}^{1} = 1 \frac{2 c}{3} = 1 c = \frac{3}{2}

$\int_0^1c\sqrt{x}dx = 1 \\ \dfrac{2c}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\big|_0^1 = 1\\ \dfrac{2c}{3} = 1\\ c=\dfrac{3}{2}$

设随机变量x 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布,且 $p\{x>1 = e^{-1}\}$ 则 $p\{x>3=\}$ ( $e^{-3}$ )
解:

指 数 函 数 分 布 函 数 p = 1 - e^{- λ x} (x > 0) p {x > 1} = 1 - p {x ⩽ 1} = 1 - (1 - e^{- λ}) = e^{- 1} \Rightarrow λ = 1 p {x > 3} = 1 - (1 - e^{- 3}) = e^{- 3}

$指数函数分布函数p= 1-e^{-\lambda x} \qquad (x > 0)\\ p\{x>1\} = 1-p\{x\leqslant 1\} = 1-(1-e^{-\lambda})=e^{-1}\\ \Rightarrow \lambda = 1\\ p\{x>3\} = 1-(1-e^{-3}) = e^{-3}$

设随机变量 $x\thicksim N(0,1),y\thicksim N(0,1)$ 且x，y 相互独立,则二维变量(x,y)的概率密度函数f(x,y)=()
解:

因 为 x, y 独 立 f (x, y) = f (x) f (y) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x^{2} + y^{2}}{2}}

$因为x,y 独立\\ f(x,y)=f(x)f(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}=\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$

设随机变量 $x\thicksim N(2,4), y=2-2x$ 则D(y)= (16)
解: $D(y) = 2^2D(x) = 16$
设随机变量 $x\thicksim B(16,0.5)$ , y服从参数为9的泊松分布则E(x-2y+1) = (-9)
解: $E(x) = 16\times 0.5 = 8 \quad E(y) = 9 \qquad E(x-2y+1) =8 - 2\times 9 +1 = -9$
已知E(x) = 2, E(y)= 2 E(xy) = 4, 则x,y的协方差Cov(x,y)=(0)
解: $Cov(x,y) = E(xy)- E(x)E(y) = 4-4 = 0$
一直 $X\thicksim B(100, 0.4)$ 利用切比雪夫不等式估计 $P\{|x-40|\geqslant 6\} \leqslant (\dfrac{2}{3})$
解:

E (x) = n p = 40 D (x) = n p (1 - p) = 24 P {| x - 40 | ⩾ 6} ⩽ \frac{D (x)}{ε^{2}} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}

$E(x) = np = 40\\ D(x) = np(1-p) = 24\\ P\{|x-40|\geqslant 6\} \leqslant \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2}=\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\\$

设 $x_1, x_2,x_3$ 是来自总体X的样本,若 $\hat{u} = 3ax_1+ax_2 -x_3$ 的期望u的无偏估计, 则常数a = ( $\dfrac{1}{2}$ )
解:

设总体 $X\thicksim N(u,1), X_1,X_2,...x_8$ 是来自x的样本, $\overline{X}$ 为样本均值, 则 $E(\overline{X})=(u)$
解:

设总体X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布, $x_1,x_2,...x_n$ 为来自X的样本值,其样本均值 $\overline{x}=3$ , 则 $\lambda$ 的矩估计 $\hat{\lambda} = (3)$
解:

设总体 $X\thicksim N(u,16), X_1,X_2,...X_n$ , 为来自X的样本 , $\overline{X}$ 为样本均值, 欲检验假设 $H_0:u=u_0; H_1:u\neq u_0$ , 则采用检验统计量的表达式为 $(\dfrac{\sqrt{n}}{4}(\overline{X}-u_0))$
解:

计算题

某仪器在A,B,C三种不同状态的工作时间比例为7:2:1, 且发生故障的概率分布为0.01,0.02,0.04, 求(1)该仪器发生故障的概率, (2)发生故障时恰在B工作状态的概率。
解:

设 事 件 A ， B, C 表 示 仪 器 在 A, B, C 状 态 下 工 作 . 事 件 D 表 示 发 生 故 障 (1) p = p (D | A) P (A) + P (D | B) P (B) + P (D | C) P (C) = 0.015 (2) P (B | D) = \frac{P (D B)}{P (D)} = \frac{0.02 \times 2}{0.15} = \frac{4}{15}

$设事件A，B,C 表示仪器在A,B,C状态下工作. 事件D 表示发生故障\\ (1) p= p(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) = 0.015\\ (2)P(B|D) = \dfrac{P(DB)}{P(D)} = \dfrac{0.02\times2}{0.15} = \dfrac{4}{15}$

设随机变量的概率密度为 $f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)} &x>0 ,y>0 \newline 0 & 其他\end{cases}$ ,求X,Y的边缘概率密度, 判断X，Y 是否独立
解:

f_{x} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} e^{- (x + y)} d y & x > 0 \\ 0 & x ⩽ 0 \end{cases} = {\begin{cases} e^{- x} & x > 0 \\ 0 & x ⩽ 0 \end{cases} f_{y} (y) = {\begin{cases} e^{- y} & y > 0 \\ 0 & y ⩽ 0 \end{cases} (2) 因 为 对 任 意 实 数 有 f_{x} (x) \cdot f_{y} (y) = f (x, y), 所 以 x, y 相 互 独 立

$f_x(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = \begin{cases} \int_0^{\infty} e^{-(x+y) }dy & x>0 \newline 0 & x\leqslant 0 \end{cases}=\begin{cases}e^{-x} &x>0 \newline 0 & x\leqslant 0 \end{cases}\\ f_y(y)= \begin{cases}e^{-y} &y>0 \newline 0 & y\leqslant 0 \end{cases}\\ (2)因为对任意实数有f_x(x)\cdot f_y(y)= f(x,y), 所以x,y相互独立$

黄金矩形是指长宽比近似0.618 的矩形, 这种矩形能给人比较舒适的视觉, 设某厂的矩形工艺长宽比 $X\thicksim N(u,\sigma^2)$ , 现从一批产品中抽查9件测其比值,测得验本均值 $\overline{x}=0.614$ 样本标准差 $s=0.036$ , 试问该厂生产的矩形是否采用了黄金比例?( $\alpha=0.05, t_0.025(8)=2.306$ )
解:

设 H_{0} : u = u_{0}, H 1 : u \neq u_{0} t = \frac{\bar{X} - u_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{- 0.004}{0.012} = - \frac{1}{3} 由 于 | t | < t_{0} .025 (9), 固 不 拒 绝 H_{0} 即 认 为 该 厂 采 用 了 黄 金 比 例 设 计

$设H_0: u=u_0, H1:u\neq u_0\\ t=\dfrac{\overline{X}-u_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\dfrac{-0.004}{0.012}=-\dfrac{1}{3}\\ 由于|t|<t_0.025(9) , 固不拒绝H_0 即认为该厂采用了黄金比例设计$

综合题

设随机变量x 在[0,1] 上均匀分布, 随机变量有的概率密度函数为 $f_y(y)=\begin{cases} e^{-y} &y>0 \newline 0 & y\leqslant 0\end{cases}$ 且x,y 相互独立, 求(1)x的概率密度 $f_x(x)$ (2)(x,y)的概率密度 $f(x,y)(3)p\{x+y\leqslant 1\}$
解:

(1) f_{x} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 ⩽ 0 ⩽ 1 \\ 0 & 其 他 \end{cases} (2) f (x, y) = f_{x} (x) \cdot f_{y} (y) = {\begin{cases} e^{- y} & 0 ⩽ 0 ⩽ 1, y > 0 \\ 0 & 其 他 \end{cases} (3) P {x + y ⩽ 1} = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{1 - x} e^{- y} d y = e^{- 1}

$(1)f_x(x)=\begin{cases}1 &0\leqslant0\leqslant1 \newline 0 & 其他 \end{cases}\\ (2)f(x,y)=f_x(x) \cdot f_y(y) =\begin{cases}e^{-y} &0\leqslant0\leqslant1, y> 0\newline 0 & 其他 \end{cases}\\ (3)P\{x+y\leqslant1\} = \int_0^1 dx\int_0^{1-x} e^{-y}dy = e^{-1}$

设随机变量x的概率密度为 $f(x)=\begin{cases} c & -3\leqslant x\leqslant3 \newline 0 & 其他\end{cases}$ , 求(1)常数c, (2) $P\{|x|\leqslant2\}$ (3)E(x)D(x)
解:

(1) 明 显 x 为 均 匀 分 布, c = \frac{1}{3 - (- 3)} = \frac{1}{6} (2) P {| x | ⩽ 2} = \int_{- 2}^{2} \frac{1}{6} d x = \frac{2}{3} (3) E (x) = \int_{- 3}^{3} \frac{1}{6} x d x = 0 E (x^{2}) = \int_{- 3}^{3} \frac{1}{6} x^{2} d x = 3 D (x) = E (x^{2}) - (E (x))^{2} = 3

$(1)明显x为均匀分布, c = \dfrac{1}{3-(-3)} = \dfrac{1}{6}\\ (2)P\{|x|\leqslant2\} = \int_{-2}^{2}\dfrac{1}{6}dx = \dfrac{2}{3} (3)E(x) = \int_{-3}^{3}\dfrac{1}{6}xdx = 0\\ E(x^2)=\int_{-3}^{3}\dfrac{1}{6}x^2dx = 3\\ D(x)= E(x^2)-(E(x))^2 = 3$