02197概率论与数理统计 2023年10月真题解析
单选题
- 设AB为随机事件,则\(\overline{AB}=\)(D)
解: 摩根律 \(\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B} \quad \overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}\) - 设A,B是事件,且\(P(A)=0.4, P(A\overline{B})=0.3, 则P(B|A)=\) ( A )
解:
\[P(\overline{B}|A) = \dfrac{P(A\overline{B})}{P(A)}= \dfrac{0.3}{0.4}=\dfrac{3}{4} \\
P(B|A) + P(\overline{B}|A) = 1 \Rightarrow P(B|A) = 1-P(\overline{B}|A) = \dfrac{1}{4}
\]
- 设随机变量\(x\thicksim N(-3,2)\), 则下列变量服从标准正态分布式的是(B)
解:
\[x\thicksim(u,\sigma^2) \quad Z=(\dfrac{x-u}{\sigma})\thicksim N(0,1)\\
\\u=-3 \quad \sigma=\sqrt{2}\\
Z= \dfrac{x+3}{\sqrt{2}} \thicksim N(0,1)
\]
- 设随机变量的分布率为如下, 则\(P\{x\geqslant 1\}\) = (C)
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| p | \(\dfrac{1}{4}\) | c | 2c |
解: \(P\{x\geqslant 1\} = 1- p\{x<1\} = 1- \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\)
-
设x服从区间[0,3]上的均匀分布,则\(P\{|x|<1\}=\) (B)
解:$ P(|x|<1 ) = P(-1<x<1) = P(0<x<1) =\dfrac{1}{3} $ -
设二维变量x,y的分布率如下.则$p \lbrace y-x\geqslant 1\rbrace $ = (C)
| xy | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.2 |
| 1 | 0.4 | 0.3 |
解: \(p \lbrace y-x\geqslant 1\rbrace = p(1,0)+ p(2,0)+p(2,1) = 0.6\)
- 设x,y 相互独立, 分别服从参数为2,3的泊松分布,则\(P(x+y = 0)=\) (A)
解:\[x+y=0 又x>0, y>0 \Rightarrow x=0,y=0\\ p(x=0) = \dfrac{\lambda^0e^{-\lambda}}{0!}, \lambda = 2\\ p(x=0)=e^{-2}\\ 同理: p(y=0)=e^{-3}\\ p(x+y==0)=p(x=0,y=0)=e^{-2}\cdot e^{-3} = e^{-5} \] - x,y 相互独立, \(D(x)=3, D(y)=2, D(2x+y)=\)(C)
解:\[D(2x) = 4D(x) = 12 D(2x+y) =12+2 = 14 (因为x,y 相互独立) \] - E(xy)= (C)
| xy | 2 | 3 |
|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0 |
| 1 | 0.3 | 0.5 |
\[E(xy) = 0.2\times 0\times2 + 0\times0\times3 + 0.3\times1\times2 + 0.5\times1\times3=2.1
\]
- 设总体\(x\thicksim N(u, \sigma^2),x_1,x_2,...x_n\) 是来自x的样本,其中\(\sigma^2\)未知, \(\overline{x} 与s^2\)分别是样本均值和样本方差, 检验假设\(h_0:u=1;h_1:u\neq 1\)采用的检验统计量为(A)
填空题
- A,B 是随机事件,则A，B 至少有一个发生表示为( $ A\cup B$ )
- 盒子中又3个白球两个红球不放回的取出两球, 第二次才取到白球的概率为(\(\dfrac{3}{10}\))
解:
\[P= \dfrac{c_2^1}{c_5^1}\times\dfrac{c_3^1}{c_4^1}= \dfrac{3}{10}
\]
- A,B 相互独立.,\(p(A) = 0.6 , p(B) = 0.5, p(A\cup B)=(0.8)\)
解: \(P(A\cup B) = 1 - P(\overline{AB})\) = 0.8 - 随机变量x的分布率如下, F(x) 是x的分布函数F(1.5)=(\(\dfrac{5}{6}\))
| x | -1 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| p | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
解:
$ F(1.5) = P (x<1.5) = P(-1) + p(1) = \dfrac{5}{6} $
- 随机变量x的概率密度为\(\begin{cases}c\sqrt{x} & 0\leqslant x \leqslant 1 \newline 0 & 其他\end{cases} 则常数\)c= (\dfrac{3}{2})$
解:
\[\int_0^1c\sqrt{x}dx = 1 \\
\dfrac{2c}{3}x^{\dfrac{3}{2}}\big|_0^1 = 1\\
\dfrac{2c}{3} = 1\\
c=\dfrac{3}{2}
\]
- 设随机变量x 服从参数为\(\lambda\) 的指数分布,且\(p\{x>1 = e^{-1}\}\)则\(p\{x>3=\}\) (\(e^{-3}\))
解:
\[指数函数分布函数p= 1-e^{-\lambda x} \qquad (x > 0)\\
p\{x>1\} = 1-p\{x\leqslant 1\} = 1-(1-e^{-\lambda})=e^{-1}\\
\Rightarrow \lambda = 1\\
p\{x>3\} = 1-(1-e^{-3}) = e^{-3}
\]
- 设随机变量$x\thicksim N(0,1),y\thicksim N(0,1) $且x，y 相互独立,则二维变量(x,y)的概率密度函数f(x,y)=()
解:
\[因为x,y 独立\\
f(x,y)=f(x)f(y)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}=\dfrac{1}{2\pi}e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}
\]
- 设随机变量\(x\thicksim N(2,4), y=2-2x\)则D(y)= (16)
解: \(D(y) = 2^2D(x) = 16\) - 设随机变量\(x\thicksim B(16,0.5)\), y服从参数为9的泊松分布则E(x-2y+1) = (-9)
解: \(E(x) = 16\times 0.5 = 8 \quad E(y) = 9 \qquad E(x-2y+1) =8 - 2\times 9 +1 = -9\) - 已知E(x) = 2, E(y)= 2 E(xy) = 4, 则x,y的协方差Cov(x,y)=(0)
解: \(Cov(x,y) = E(xy)- E(x)E(y) = 4-4 = 0\) - 一直\(X\thicksim B(100, 0.4)\) 利用切比雪夫不等式估计\(P\{|x-40|\geqslant 6\} \leqslant (\dfrac{2}{3})\)
解:
\[E(x) = np = 40\\
D(x) = np(1-p) = 24\\
P\{|x-40|\geqslant 6\} \leqslant \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2}=\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\\
\]
- 设\(x_1, x_2,x_3\) 是来自总体X的样本,若 \(\hat{u} = 3ax_1+ax_2 -x_3\) 的期望u的无偏估计, 则常数a = (\(\dfrac{1}{2}\))
解:
\[\]
- 设总体\(X\thicksim N(u,1), X_1,X_2,...x_8\)是来自x的样本, \(\overline{X}\) 为样本均值, 则\(E(\overline{X})=(u)\)
解:
\[\]
- 设总体X服从参数为\(\lambda\) 的泊松分布, \(x_1,x_2,...x_n\)为来自X的样本值,其样本均值\(\overline{x}=3\), 则\(\lambda\)的矩估计\(\hat{\lambda} = (3)\)
解:
\[\]
- 设总体\(X\thicksim N(u,16), X_1,X_2,...X_n\), 为来自X的样本 ,\(\overline{X}\) 为样本均值, 欲检验假设\(H_0:u=u_0; H_1:u\neq u_0\), 则采用检验统计量的表达式为 \((\dfrac{\sqrt{n}}{4}(\overline{X}-u_0))\)
解:
\[\]
计算题
- 某仪器在A,B,C三种不同状态的工作时间比例为7:2:1, 且发生故障的概率分布为0.01,0.02,0.04, 求(1)该仪器发生故障的概率, (2)发生故障时恰在B工作状态的概率。
解:
\[ 设事件A，B,C 表示仪器在A,B,C状态下工作. 事件D 表示发生故障\\
(1) p= p(D|A)P(A) + P(D|B)P(B) + P(D|C)P(C) = 0.015\\
(2)P(B|D) = \dfrac{P(DB)}{P(D)} = \dfrac{0.02\times2}{0.15} = \dfrac{4}{15}
\]
- 设随机变量的概率密度为\(f(x,y)=\begin{cases}e^{-(x+y)} &x>0 ,y>0 \newline 0 & 其他\end{cases}\),求X,Y的边缘概率密度, 判断X，Y 是否独立
解:
\[f_x(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy = \begin{cases} \int_0^{\infty} e^{-(x+y) }dy & x>0 \newline 0 & x\leqslant 0 \end{cases}=\begin{cases}e^{-x} &x>0 \newline 0 & x\leqslant 0 \end{cases}\\
f_y(y)= \begin{cases}e^{-y} &y>0 \newline 0 & y\leqslant 0 \end{cases}\\
(2)因为对任意实数有f_x(x)\cdot f_y(y)= f(x,y), 所以x,y相互独立
\]
- 黄金矩形是指长宽比近似0.618 的矩形, 这种矩形能给人比较舒适的视觉, 设某厂的矩形工艺长宽比\(X\thicksim N(u,\sigma^2)\), 现从一批产品中抽查9件测其比值,测得验本均值\(\overline{x}=0.614\) 样本标准差\(s=0.036\), 试问该厂生产的矩形是否采用了黄金比例?(\(\alpha=0.05, t_0.025(8)=2.306\))
解:
\[设H_0: u=u_0, H1:u\neq u_0\\
t=\dfrac{\overline{X}-u_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\dfrac{-0.004}{0.012}=-\dfrac{1}{3}\\
由于|t|<t_0.025(9) , 固不拒绝H_0 即认为该厂采用了黄金比例设计
\]
综合题
- 设随机变量x 在[0,1] 上均匀分布, 随机变量有的概率密度函数为\(f_y(y)=\begin{cases} e^{-y} &y>0 \newline 0 & y\leqslant 0\end{cases}\) 且x,y 相互独立, 求(1)x的概率密度\(f_x(x)\)(2)(x,y)的概率密度\(f(x,y)(3)p\{x+y\leqslant 1\}\)
解:
\[(1)f_x(x)=\begin{cases}1 &0\leqslant0\leqslant1 \newline 0 & 其他 \end{cases}\\
(2)f(x,y)=f_x(x) \cdot f_y(y) =\begin{cases}e^{-y} &0\leqslant0\leqslant1, y> 0\newline 0 & 其他 \end{cases}\\
(3)P\{x+y\leqslant1\} = \int_0^1 dx\int_0^{1-x} e^{-y}dy = e^{-1}
\]
- 设随机变量x的概率密度为\(f(x)=\begin{cases} c & -3\leqslant x\leqslant3 \newline 0 & 其他\end{cases}\), 求(1)常数c, (2)\(P\{|x|\leqslant2\}\)(3)E(x)D(x)
解:
\[(1)明显x为均匀分布, c = \dfrac{1}{3-(-3)} = \dfrac{1}{6}\\
(2)P\{|x|\leqslant2\} = \int_{-2}^{2}\dfrac{1}{6}dx = \dfrac{2}{3}
(3)E(x) = \int_{-3}^{3}\dfrac{1}{6}xdx = 0\\
E(x^2)=\int_{-3}^{3}\dfrac{1}{6}x^2dx = 3\\
D(x)= E(x^2)-(E(x))^2 = 3
\]
