2023年10月 00023高等数学（工本）真题解析

说明

单选题

在空间直角坐标系中, 点（1,1,0）在（ A ）

A. Oxy平面 B.Oxz平面 C.Oyz平面 D.z轴
极限 $\lim\limits_{x\rightarrow0\atop y\rightarrow3}xsin\dfrac{1}{xy}=$ ( A )
A.0 B.1 C.3 D.不存在
解：

$x\rightarrow0,y\rightarrow3时x\rightarrow0 \quad sin\dfrac{1}{xy} 是(-1,1)的有界函数，所以\lim\limits_{x\rightarrow0\atop y\rightarrow3}xsin\dfrac{1}{xy}=0$
微分方程是（ B ）
A.可分离变量的微分方程 B. 齐次方程 C.一阶线性齐次方程 D.一阶线性非齐次方程
下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（D）
A. $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2n-2}{3n+1}$ B. $\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}$ C. $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n-1}}{2^{n+1}}$ D. $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$
解：
A $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} u_n=\dfrac{2}{3} \neq0$ 发散
B 震荡函数不收敛
C $\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n-1}}{2^{n+1}} = \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{3^{n}}{2^{n}\cdot6}= \dfrac{1}{6}\sum\limits_{n=1}^\infty(\dfrac{3}{2})^n$ 发散
Dp级数且P>1收敛
设积分区域 $D: x^2+y^2\leq4$ ,则二重积分
A. 0 B. $4 \pi$ C. $8\pi$ D.
解： $\iint\limits_D(2-x-y)dxdy= \int_0^{2\pi} d\theta\int_0^2(2-sin\theta-cos\theta)rdr = 2\int_0^{2\pi}(2-sin\theta-cos\theta)d\theta=8\pi$
向量 $\alpha={2,1,-9} \quad \beta={1,0,1}$ 则
解： $\alpha \cdot\beta =（2\times1）+（1\times0）+(-9\times1)=-7$
设函数 $f(x,y)=\dfrac{4xy}{x^2-y^2}则f(1,\dfrac{y}{x})=$
A. $\dfrac{4y}{x^2-y^2}$ B. $\dfrac{4y}{y^2-x^2}$ C. $\dfrac{4xy}{x^2-y2}$ D. $\dfrac{4y}{y^2-x^2}$
解： $将(1,\dfrac{y}{x}) 代入f(1,\dfrac{y}{x})= \dfrac{4\dfrac{y}{x}}{1-\dfrac{y^2}{x^2}}= \dfrac{4xy}{x^2-y2}$
设积分区域是 $|x|\leq=1,|y|\leq=1,|z|\leq=1,$ 则三重积分 $\iiint\limits_{\Omega} 2dxdydz$ = ( D )
A.2 B. 4 C. 8 D. 16
解: $\iiint\limits_{\Omega} 2dxdydz=2\iiint\limits_{\Omega}dxdydz$ 等于2倍积分区域的体积，积分区域是变长为2的正方体体积为8
设函数 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数， $f(x)$ 的傅里叶函数为 $\dfrac{3}{4}+\sum\limits_1^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{n^2} cosnx$ 则的傅里叶系数为 $b_1=$ ( B )
A.-3 B. 0 C. 3 D. $\dfrac{15}{4}$
解：

$傅里叶函数 f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum\limits_1^\infty (a_ncosnx+b_nsinnx)\\ 所以\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{3}{4} \quad a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}\cdot 3}{n^2} \quad b_n = 0$
微分方程 $y^{''}+(x^2+1)y^{'}+y=2$ 的一个特解呀 $y^*$ = ( A )
$A.2\quad B.2x\quad C.2+x\quad D.x^2$
解：将选项带入看是否成立

计算题

求平面 $2x+y-z=3$ 与直线 $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{-1}$ 的交点坐标
解:

\begin{aligned} \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{- 1} = t \\ x = 2 t + 1 y = 3 t - 1 z = - t + 2 \\ 2 x + y - z = 3 \Rightarrow 4 t + 2 + 3 t - 1 + t - 2 = 3 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow x = 2, y = \frac{1}{2}, z = \frac{3}{2} \\ 所 以 交 点 坐 标 为 (2, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} &\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-2}{-1}=t\\ &x=2t+1 \quad y=3t-1\quad z=-t+2\\ &2x+y-z=3\Rightarrow 4t+2+3t-1+t-2=3\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}\\ &\Rightarrow x= 2, y=\dfrac{1}{2}, z= \dfrac{3}{2}\\ &所以交点坐标为(2,\dfrac{1}{2},\dfrac{3}{2}) \end{aligned}$

已知常数 $k>0$ ，且原点到平面 $x+ky-2z=9$ 的距离为3，求常数k的值
解：

\begin{aligned} 原 点 到 直 线 的 距 离 d = \frac{| - 9 |}{\sqrt{1^{2} + k^{2} + (- 2)^{2}}} = 3 \\ k = \pm 2 \\ 已 知 k > 0 \Rightarrow k = 2 \end{aligned}

$\begin{aligned} &原点到直线的距离d=\dfrac{\lvert -9 \rvert}{\sqrt{1^2+k^2+(-2)^2}}=3\\ &k=\pm2\\ & 已知k>0 \Rightarrow k= 2 \end{aligned}$

设函数 $u=ln^{\sqrt{x^2+y2+z^2}}$ 求全微分du
解：

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ d u = \frac{x d x}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{y d y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} + \frac{z d z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ d u = \frac{x d x + y d t + z d z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{x}{x^2+y^2+z^2}\\ &\dfrac{\partial u}{\partial y} = \dfrac{y}{x^2+y^2+z^2}\\ &\dfrac{\partial u}{\partial z} = \dfrac{z}{x^2+y^2+z^2}\\ &du=\dfrac{xdx}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{ydy}{x^2+y^2+z^2}+\dfrac{zdz}{x^2+y^2+z^2}\\ &du=\dfrac{xdx+ydt+zdz}{x^2+y^2+z^2} \end{aligned}$

设方程 $e^{-xy}-3z+e^z=0$ , 确定函数 $z=z(x,y)$ 求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$
解：

\begin{aligned} f (x) = e^{- x y} - 3 z + e^{z} = 0 \\ f_{z} = - 3 + e^{z} f_{x} = - y e^{- x y} \\ \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{f_{x}}{f_{z}} = \frac{y e^{- x y}}{e^{z} - 3} \end{aligned}

$\begin{aligned} & f(x)=e^{-xy}-3z+e^z=0\\ & f_z=-3+e^z \quad f_x=-ye^{-xy}\\ &\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{f_x}{f_z}= \dfrac{ye^{-xy}}{e^z-3} \end{aligned}$

设函数 $f(x,y)=e^xcosy$ ,求梯度 $gradf(0,\dfrac{\pi}{4})$
解：

\begin{aligned} f_{x} = c o s y e^{x} f_{y} = - e^{x} s i n y \\ g r a d f = c o s y e^{x} i - e^{x} s i n y j \\ g r a d f (0, \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} i - \frac{\sqrt{2}}{2} j \end{aligned}

$\begin{aligned} & f_x=cosye^x \quad f_y=-e^xsiny\\ & gradf=cosye^x i-e^xsinyj\\ & gradf(0,\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i-\dfrac{\sqrt{2}}{2}j \end{aligned}$

计算二重积分 $\iint\limits_D(2x-y)dxdy$ , 其中积分区域 $x+y=2,y=x，x轴$ 所围成的区域
解：

\begin{aligned} \iint_{D} (2 x - y) d x d y \\ = \int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x} (2 x - y) d y + \int_{1}^{2} d x \int_{0}^{2 - x} (2 x - y) d y \\ = \frac{5}{3} \end{aligned}

$\begin{aligned} & \iint\limits_D(2x-y)dxdy\\ & =\int_0^1dx\int_0^x(2x-y)dy+\int_1^2dx\int_0^{2-x}(2x-y)dy\\ & =\dfrac{5}{3} \end{aligned}$

计算对弧长的曲线积分 $\oint\limits_L(x^2+y^2)ds$ ，L是圆周 $x^2+y^2=4$
解：

\begin{aligned} x = 2 s i n θ y = 2 c o s θ \\ ∮_{L} (x^{2} + y^{2}) d s \\ = \int_{0}^{2 π} 4 \sqrt{(2 c o s θ)^{2} + (- 2 s i n θ)^{2}} d θ \\ = 16 π \end{aligned}

$\begin{aligned} & x=2sin\theta \quad y=2cos\theta\\ & \oint\limits_L(x^2+y^2)ds\\ & =\int_0^{2\pi}4\sqrt{(2cos\theta)^2+(-2sin\theta)^2}d\theta\\ & =16\pi \end{aligned}$

计算对坐标曲线 $\oint\limits_Le^{x+y}dy$ 积分L是（0，0）到（1,1）的直线段
解：

\begin{aligned} y = y x = y \\ ∮_{L} e^{x + y} d y \\ = \int_{0}^{1} e^{2 y} d y \\ = \frac{1}{2} e^{2 y} |_{0}^{1} (换 元 积 分 元 为 2 y) \\ = \frac{1}{2} (e^{2} - 1) \end{aligned}

$\begin{aligned} & y=y \quad x=y\\ & \oint\limits_Le^{x+y}dy\\ & =\int_0^{1}e^{2y}dy\\ & =\dfrac{1}{2}e^{2y} \big|_0^1 \quad(换元积分元为2y)\\ & =\dfrac{1}{2}(e^2-1) \end{aligned}$

将函数 $f(x)=ln(1+x)$ 展开为幂级数
解：

\begin{aligned} f^{^{'}} (x) & = \frac{1}{1 + x} \\ f^{^{'}} (x) & = \sum_{0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n} (- 1 < x < 1) \\ f^{^{'}} (x) & = 0 x^{0} + (- 1) x^{1} + (- 1)^{2} x^{2} + (- 1)^{3} x^{3} + . . . + (- 1)^{n} x^{n} \\ f (x) & = x + (- 1) \frac{x^{2}}{2} + (- 1)^{2} \frac{x^{3}}{3} + (- 1)^{3} \frac{x^{4}}{4} + . . . + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} \\ = \sum_{1}^{\infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} (- 1 < x < 1) \end{aligned}

$\begin{aligned} f^{'}(x)&= \dfrac{1}{1+x}\\ f^{'}(x) &= \sum\limits_0^\infty(-1)^nx^n \quad (-1<x<1)\\ f^{'}(x) &= 0x^0+(-1)x^1+(-1)^2x^2+(-1)^3x^3+...+(-1)^nx^n\\ f(x)&= x+(-1)\dfrac{x^2}{2}+(-1)^2\dfrac{x^3}{3}+(-1)^3\dfrac{x^4}{4}+...+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}\\ &=\sum\limits_1^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} \quad(-1<x<1) \end{aligned}$

求微分方程 $y{''}+5y+6=0$ 的通解
解：

\begin{aligned} 特 征 方 程 ： x^{2} + 5 x + 6 = 0 \\ 特 征 根 ： x_{1} = - 2, x_{2} = - 3 \\ 通 解 ： y = C_{1} e^{- 2 x} + C_{2} e^{- 3 x} \end{aligned}

$\begin{aligned} &特征方程：x^2+5x+6=0\\ &特征根： x_1=-2, x_2=-3\\ &通解：y=C_1e^{-2x}+C_2e^{-3x} \end{aligned}$

综合题

判断无穷级数 $\sum\limits_1^\infty (\dfrac{n}{3n+1})^n$ 的敛散性
解：根值审敛法
$\begin{aligned} &\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{(\dfrac{n}{3n+1})^n}\\ &=\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \dfrac{n}{3n+1}\\ &=\dfrac{1}{3} \lt 1\\ &\sum\limits_1^\infty (\dfrac{n}{3n+1})^n 收敛 \end{aligned}$
计算曲面积分 $\iint\limits_\Sigma xdxdy$ , 其中 $\Sigma$ 是 $x+y+z=3$ 被坐标面所截部分
解：根值审敛法
$\begin{aligned} & \Sigma 在Oxy 的投影为x+y=3与x轴y轴所谓围成的区域\\ & \Sigma 法向量与z轴夹角小于\dfrac{\pi}{2}\\ & \iint\limits_\Sigma xdxdy=\iint\limits_{D_{xy}} xdxdy\\ &=\int_0^3 dx\int_0^{3-x} xdy\\ &=\int_0^3 3x-x^2 dx\\ &=\dfrac{9}{2}\\ \end{aligned}$