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00023 高等数学(工本)2024 年4月真题解析

说明

00023 高等数学(工本)2024 年4月真题解析

一、单选

  1. 设向量a={1,0,1}b={1,1,1},则2a+b=( D )
    解:

2a+b={2,0,2}+{1,1,1}={1,1,3}

  1. .设函数z=x2+y2,则全微分dz|(1,1)= ( C )
    解:

dz=zx+zx=2xdx+2ydydz|(1,1)=2dx+2dy

  1. 下列微分方程中,可分离变量的微分方程是( A )

A.dydx=yxB.dydx=exyC.dydx=x2+y2dydx=x2+y2

解:A 直接符合可分离变量的微分方程定义常微分方程
4. 设级数n=02xn收敛, 则x的取值可为下列数值中的( B )

A.1B.12C.32D.2

  1. 设积分区域D:x2+y2=R2,则二重积分D(x2+y2)dxdy=( C )

A.12πR2B.32πR3C.12πR4D.πR4

解:

D(x2+y2)dxdy=02π0RR2RdRdθ=02π14R4dθ=12πR4

  1. 过点(1,21)x21=y+43=z+11直线平行的直线是( A )
    解:

线{1,3,1},线x11=y23=z+11

  1. 极限limx1y01ysin(xy) = ( B )
    解:

limx1y01ysin(xy)=limx1y0xsin(xy)xy=limx1y0x=1

  1. 设积分区域x2+y2+z210 则三重积分(2xz)dxdydz= ( A )
    解:根据奇偶性 0TODO
  2. 级数0n12n= ( C )
    解:

0n12n=1+12+14+18...=2

  1. 设C1,C2是任意常数, 则微分方程y=2x+1 的通解y=( D )
    解:

y=x2+x+C1y=13x3+12x2+C1x+C2

二、计算题

  1. 求直线x11=y52=z+81与直线x+11=y11=z2的夹角θ
    解:

线{1,2,1}{1,1,2}cosθ=|a×b||a||b|=|122|66=12θ=π3

  1. 求平面x2y+2z3=0的法向量的方向余弦
    解:

{122}x,y,zx={1,0,0}cosα=191=13y={0,1,0}cosβ=291=23z={0,0,1}cosγ=291=23

  1. 求曲面z=4x2y2在点(1,1,2)的切平面方程
    解:偏导的应用

F(x)=4x2y2z2x,2y,1线2,2,12x12(y1)(z2)=02x1+2(y1)+(z2)=0

  1. 求函数u=2xyz2211处的梯度
    解:偏导的应用

ux=2yuy=2xuz=2zgradu(2,1,1)={2,4,2}

  1. f(x,y)=4(xy)x2y2 的极值
    解:偏导的应用

fx=42x=0x=2fy=42y=0y=222A=fxx=2B=fxy=0C=fyy=2Δ=B2AC<0A<0228

  1. 计算二重积分Dxy2dxdy,其中D是由 y=1x,y=x,x=2 所围成的闭区域
    解:

Dxy2dxdy=12dx1xxxy2dy=121x2dxxy|1xx=121x2dx=(x+13x3)|12=43

  1. 计算对弧长I=Lyds的曲线积分,其中L是点到(12,1)沿y2=2x到点(2,2)的弧长
    解:

(1)L{x=12y2y=yI=Lyds=12y((12y2))2+(y)2dy=12yy2+1dyy2+1=13(y2+1)32|12=13(1258)

  1. 计算坐标曲线积分L(eycosxy+1)dx+(eysinx+x2)dy,曲中L是由y=x,y=1,x=0所围成区域取正向的边界曲线
    解:

P=eycosxy+1Q=eysinx+x2Qx=eycosx+2xPy=eycosx1L=Deycosx+2x(eycosx1)dxdy=D2x+1dxdy=01dxx12x+1dy=012x2+x+1dx=23x3+12x2+x|01=56

  1. 判断级数01+n1+n2的敛散性
    解:
    n>01+n1+n2>nn2=1n
    已知01n
    所以01+n1+n2的发散
  2. 求微分方程的y2y3y=0通解
    解: 特征根法

r22r3=0r1=3r2=1y=C1e3x+C2e1x

三、综合题

  1. 求幂级数02n2n+1xn的收敛半径和收敛区间
    解:

ρ=limx|an+1an|=limx4n+22n+3=2R=1ρ=12x=1202n2n+1xnx=1202n2n+1xn(12,12)

  1. 计算对坐标曲面积分I=Σ(x2+y2+z21)dxdy, 其中Σ 是半球面3x2y2
    解:

z=3x2y2Σx0yx2+y2=3Σzπ2I=Σ(x2+y2+z21)dxdy=Dxy(31)dxdy=202πdθ03rdr=6π

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