说明
00023 高等数学(工本)2024 年4月真题解析
一、单选
- 设向量a={−1,0,1}且b={1,−1,1},则2a+b=( D )
解:
2a+b={−2,0,2}+{1,−1,1}={−1,−1,3}
- .设函数z=x2+y2,则全微分dz∣∣(1,1)= ( C )
解:
dz=∂z∂x+∂z∂x=2xdx+2ydydz∣∣(1,1)=2dx+2dy
- 下列微分方程中,可分离变量的微分方程是( A )
A.dydx=−yxB.dydx=exyC.dydx=x2+y2dydx=x2+y2
解:A 直接符合可分离变量的微分方程定义常微分方程
4. 设级数∞∑n=02xn收敛, 则x的取值可为下列数值中的( B )
A.1B.12C.32D.2
- 设积分区域D:x2+y2=R2,则二重积分∬D(x2+y2)dxdy=( C )
A.12πR2B.32πR3C.12πR4D.πR4
解:
∬D(x2+y2)dxdy=∫2π0∫R0R2RdRdθ=∫2π014R4dθ=12πR4
- 过点(1,2,−1)与x−2−1=y+43=z+11直线平行的直线是( A )
解:
直线的方向向量{−1,3,1},用点向式得直线方程:x−1−1=y−23=z+11
- 极限limx→1y→01ysin(xy) = ( B )
解:
limx→1y→01ysin(xy)=limx→1y→0xsin(xy)xy=limx→1y→0x=1
- 设积分区域x2+y2+z2⩽10 则三重积分∭(2x−z)dxdydz= ( A )
解:根据奇偶性 0TODO
- 级数n∑012n= ( C )
解:
n∑012n=1+12+14+18...=2
- 设C1,C2是任意常数, 则微分方程y′′=2x+1 的通解y=( D )
解:
y′=x2+x+C1y=13x3+12x2+C1x+C2
二、计算题
- 求直线x−11=y−5−2=z+81与直线x+11=y−11=z−2的夹角θ
解:
直线的夹角等于方向向量{1,−2,1}{1,1,−2}的夹角cosθ=|a×b||a||b|=|1−2−2|√6√6=12θ=π3
- 求平面x−2y+2z−3=0的法向量的方向余弦
解:
法向量为{1,−2,2}方向余弦:向量与x,y,z轴的夹角的余弦x={1,0,0}cosα=1√9√1=13y={0,1,0}cosβ=−2√9√1=−23z={0,0,1}cosγ=2√9√1=23
- 求曲面z=4−x2−y2在点(1,1,2)的切平面方程
解:偏导的应用
F(x)=4−x2−y2−z−2x,−2y,−1法线的方向向量为−2,−2,−1点法式:切平面为−2(x−1)−2(y−1)−(z−2)=0⇒2(x−1)+2(y−1)+(z−2)=0
- 求函数u=2xy−z2在(2,−1,1)处的梯度
解:偏导的应用
∂u∂x=2y∂u∂y=2x∂u∂z=−2zgradu(2,−1,1)={−2,4,−2}
- 求f(x,y)=4(x−y)−x2−y2 的极值
解:偏导的应用
fx=4−2x=0⇒x=2fy=−4−2y=0⇒y=−2则驻点为(2,−2)A=fxx=−2B=fxy=0C=fyy=−2Δ=B2−AC<0且A<0所以在(2,−2)取得极大值8
- 计算二重积分∬Dxy2dxdy,其中D是由 y=1x,y=x,x=2 所围成的闭区域
解:
∬Dxy2dxdy=∫21dx∫x1xxy2dy=−∫211−x2dxxy∣∣x1x=−∫211−x2dx=(−x+13x3)∣∣21=43
- 计算对弧长I=∫Lyds的曲线积分,其中L是点到(12,−1)沿y2=2x到点(2,2)的弧长
解:
L参数方程⎧⎨⎩x=12y2y=yI=∫Lyds=∫2−1y√((12y2)′)2+(y′)2dy=∫2−1y√y2+1dy凑微分(元为y2+1)=13(y2+1)32∣∣2−1=13(√125−√8)(1)
- 计算坐标曲线积分∮L(eycosx−y+1)dx+(eysinx+x2)dy,曲中L是由y=x,y=1,x=0所围成区域取正向的边界曲线
解:
根据格林公式:令:P=eycosx−y+1Q=eysinx+x2∂Q∂x=eycosx+2x∂P∂y=eycosx−1∮L=∬Deycosx+2x−(eycosx−1)dxdy=∬D2x+1dxdy=∫10dx∫1x2x+1dy=∫10−2x2+x+1dx=−23x3+12x2+x∣∣10=56
- 判断级数∞∑01+n1+n2的敛散性
解:
当n>0时1+n1+n2>nn2=1n
已知∞∑01n发散(调和级数)
所以∞∑01+n1+n2的发散
- 求微分方程的y′′−2′y−3y=0通解
解: 特征根法
特征方程r2−2r−3=0特征根:r1=3r2=−1通解y=C1e3x+C2e−1x
三、综合题
- 求幂级数∞∑02n2n+1xn的收敛半径和收敛区间
解:
ρ=limx→∞|an+1an|=limx→∞4n+22n+3=2所以收敛半径为R=1ρ=12x=12时∞∑02n2n+1xn发散x=−12时∞∑02n2n+1xn发散所以收敛区间为(−12,12)
- 计算对坐标曲面积分I=∬Σ(x2+y2+z2−1)dxdy, 其中Σ 是半球面√3−x2−y2
解:
z=√3−x2−y2Σ在x0y平面的投影x2+y2=3Σ法向量与z轴夹角小于π2I=∬Σ(x2+y2+z2−1)dxdy=∬Dxy(3−1)dxdy=2∫2π0dθ∫√30rdr=6π
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