00023 高等数学（工本） 知识总结

说明

2024 年10月二战高等数学工本， 这次一定要认真复习。必过！！！
由于不熟悉latex 语法 本文既作为高等数学复习之用， 也是对latex 语法的学习！
视频看累了， 做做真题
2024.4 真题解析
2023.10真题解析

前置知识（高中及工专部分学习的知识）

导数

$C^{'}=0 \quad (x^{n})^{'} = n x^{n-1} \\ (sinx)^{'} = cosx \quad (cosx)^{'} = -sinx\\ (e^{x})^{'} = e^{x} \quad a^{x}=a^{x}ln^{a} \quad (ln^{x})^{'}=\dfrac{1}{x} \quad (log_{a}^{x})^{'} = \dfrac{1}{xln^{a}}\\ [u(x)v(x)]^{'} = u^{'}(x)v(x) + u(x)v^{'}(x) \quad 导数的乘法\\ [\dfrac{u(x)}{v(x)}]^{'}=\frac{u^{'}(x)v(x) - u(x)v^{'}(x)}{v^{2}(x)}\\ (arcsinx)^{'} = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad (arctanx)^{'} = \dfrac{1}{1+x^{2}}$

反函数求导

$f^{'}(x) = \dfrac{1}{\psi^{'}}$

复合函数求导

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$

隐函数求导

$\dfrac{dz}{dx}=- \dfrac{F^{'}x}{F^{'}z}$
整体求导然后变换提出$y^{'}$

参数方程求导

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}$

积分

导数的逆函数（只需记导数公式）
$\int x^adx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C \quad \int \dfrac{1}{x}dx= ln\lvert x\rvert+C$
换元积分法（凑微分， 逆向复合函数求导）
例： $\int sin2xdx\\ u=2x \quad du=d(2x) = (2x)^{'}dx=2dx \Rightarrow dx=\dfrac{1}{2}du\\ \int sin2xdx = \int \dfrac{1}{2}sinudu = -\dfrac{1}{2}cosu+C=-\dfrac{1}{2}cos(2x)+C$
第二类换元积分（三角替换 暂时放弃）

分部积分法(逆向导数的乘法)
$\int udv=uv-\int vdu\\ 例 \quad u=lnx \quad v=x \\ \begin{aligned} \int lnxdx & = lnx\cdot x-xd(lnx)\\ &=xlnx-\int 1dx\\ &=xlnx-x+c \end{aligned}$

指数公式

$a^{m+n} = a^{m}\cdot a^{n}\\ (a^{m})^{n}= a^{mn}\\ (ab)^{n}=a^{n}b^{n}\\ log_{a}^{a^{n}} = n\\ log_a^{mn}=log_a^{m}+ log_a{n}\\ log_a^{m^{n}} = nlog_a^{m}$

三角函数

$sin^{2}(x) + cos^{2}(x) = 1\\ sin(2x)=2sin(x)cos(x)\\ cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$

空间解析几何与向量代数

象限 卦限

点到点的距离

$M1(x_{1}, y_{1}, z_{1}) \quad M2(x_{2}, y_{2}, z_{2}) 则\\ \lvert M1M2 \rvert = \sqrt{ (x_{1}-x_{2})^2 + (y_{1}-y_{2})^2 + (z_{1} - z_{2})^2}$

空间中的平面

点法式

$点 (x_0，y_0，z_0) \quad 法向量 \{A,B,C\} \quad则\quad 平面方程 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

一般式方程(参数方程)

$法向量 \{A,B,C\} \\ Ax+By+Cz +D = 0$

截距式

$当A,B,C,D 都不为0时 \\ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} +\dfrac{z}{c} = 1 \quad a,b,c 分别是平面与x,y,z轴的交点$

平面的夹角(等于法向量的夹角中的锐角)

$cos\theta=\dfrac{\vert\alpha\cdot\beta\rvert}{\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert}=\dfrac{\lvert x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ z_{1}z_{2} \rvert}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} \quad 特别的 \vec{a}\perp\vec{b}\quad\quad cos\theta=0 \quad \alpha\cdot\beta=0$

直线与平面的夹角（等于直线与法向量夹角中的锐角）

$sin\theta=\dfrac{\vert\alpha\cdot\beta\rvert}{\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert}=\dfrac{\lvert x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ z_{1}z_{2} \rvert}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

空间中的直线

点向式（对称式）

$方向向量 \{l,m,n\} \quad 过点p_{0}(x_{0},y_{0},z_{0}) \\ 直线方程:\quad \dfrac{x-x_{0}}{l}=\dfrac{y-y_{0}}{m}=\dfrac{z-z_{0}}{n}=t$

参数方程

$\begin{equation} f(x)= \left\{ \begin{aligned} x & = x_{0}+lt \\ y & = Y_{0}+mt \\ z & = z_{0}+nt \end{aligned} \right. \end{equation}$

一般方程

$\begin{equation} \left\{ \begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}Z+D_{1}=0 \\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}Z+D_{2}=0 \end{gathered} \right. \end{equation}$

直线的夹角（方向向量的夹角中的锐角）

$cos\theta=\dfrac{\vert\alpha\cdot\beta\rvert}{\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert}=\dfrac{\lvert x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ z_{1}z_{2} \rvert}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} \quad 特别的 \vec{a}\perp\vec{b}\quad\quad cos\theta=0 \quad \alpha\cdot\beta=0$

点到直线的距离

不需要掌握
$P(x_1,y_1,z_1) \quad 直线\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}\\ d=\dfrac{\lvert(x-x_0,y-y_0，z-z_0)\times(l,m,n)\rvert}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}$

点到平面的距离

$平面方程\quad Ax+By+Cz+D=0 \quad 点（x_{0},y_{0},z_{0}）\\ d=\dfrac{\lvert Ax_{0} + By_{0} +Cz_{0} +D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

向量

向量加法

$\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \quad \vec{b}=(x_{2}, y_{2}, z_{2}) \quad则\quad \vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1}+y_{2}, z_{1} + z_{2})$

向量乘法

$\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \quad则\quad n \vec{a} = (nx_{1}, ny_{1}, nz_{1})$

向量点积(数量积)

$α\cdotβ = \lvertα\rvert\lvertβ\rvert cos\theta \\ \vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}) \quad \vec{b}=(x_{2}, y_{2}, z_{2}) \quad则\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = (x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ z_{1}z_{2})\\ cos\theta=\dfrac{\alpha\cdot\beta}{\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert}=\dfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+ z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}} \quad 特别的 \vec{a}\perp\vec{b}\quad\quad cos\theta=0 \quad \alpha\cdot\beta=0$

向量积（叉积）

$\lvert\alpha\times\beta\rvert =\lvert\alpha\rvert\lvert\beta\rvert sin\theta \quad 方向为右手法则向量（垂直于\alpha和\beta向量）$

多元函数微分学

偏导数与全微分

$f_{x} = \dfrac{\partial f} {\partial x}\\ dz= \dfrac{\partial z}{\partial x}dx+ \dfrac{\partial z}{\partial y}dy$

隐函数和复合函数

$复合函数（链式法则）\\ z=f(u,v)\\ \dfrac{dz}{dx}=\dfrac{df}{du}\dfrac{du}{dx}+\dfrac{df}{dv}\dfrac{dv}{dx} \\ 隐函数\\ F(x,y,z)=0\\ \dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F^{'}_x}{F^{'}_z} \quad \dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F^{'}_y}{F^{'}_z}$

偏导数的应用

1. 极值存在则偏导(偏导存在)为0
2. 驻点偏导都为0 的点
3. 驻点求2阶偏导

$$A =f_{xx} \quad B=f_{xy} \quad C= f_{yy}\\ \Delta=B^2-AC \begin{cases} \Delta < 0,\quad & 是极值点\begin{cases} A<0 & 极大值\\ A>0 & 极小值\\ \end{cases}\\ \Delta > 0,\quad & 不是极值点\\ \Delta = 0,\quad & 不确定是否是极值点\\ \end{cases}$$

4. 条件极值
   $拉格朗日乘数法\\ 设二元函数 f(x,y) 与\varphi(x,y) 在所考虑区域有连续偏导且f_x(x,y)与\varphi_y(x,y)不同时为0\\ (1) \quad L(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y) \quad(L(x,y) 为拉格朗日函数 \lambda 为拉格朗日乘数)\\ (2) \quad 建立方程组\\ \begin{equation} \left\{ \begin{gathered} \dfrac{\partial L}{\partial x} = f_x(x,y) + \lambda\varphi_x(x,y)= 0\\ \dfrac{\partial L}{\partial y} = f_y(x,y) + \lambda\varphi_y(x,y)= 0\\ \varphi(x,y)=0\\ \end{gathered} \right. \end{equation}\\ (3)联立求解x_0,y_0,\lambda_0\\ (4)判断（x_0,y_0）是否是极值点$
5. 切线与法平面(法线与且平面)
6. 方向导数
   $z=f(x,y)\\ \dfrac{\partial z}{\partial l}= \dfrac{\partial z}{\partial x}cos\alpha+\dfrac{\partial z}{\partial y}cos\beta\quad \alpha,\beta 分别是l 与x轴y轴的夹角$
7. 梯度
   $z=f(x,y)\\ gradf(x_0,y_0)=\{f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0)\}$

常微分方程

$可分离变量的微分方程\\ \dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y) \quad或\quad \dfrac{dy}{g(y)}=f(x)\\ 一阶线性微分方程\\ \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\ 若：Q(x) = 0 则为一阶线性其次方程否则为一阶线性非齐次方程$

微分方程的通解

特征根法

二重积分

三重积分

曲线积分

$曲线\\ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} &x=\psi(t)\\ &y=\varphi(t)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}\\ 则曲线积分\\ \int _Lf(x,y)ds=\int f(x,y)\sqrt{(\psi^{'}(t))^2 + (\varphi^{'}(t))^2}$

弧长曲线积分

坐标曲线积分

格林公式

$\oint _L Pdx+Qdy=\iint \limits_D (\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}) dxdy\\ $
L为闭区域D的正向边界曲线

曲面积分

级数

审敛

1. 定义审敛法
2. 比较审敛法
3. 比较审敛法极限形式
4. 比值审敛法
5. 根值审敛法

幂级数收敛半径收敛域

$\rho = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\rvert\\ R=\dfrac{1}{\rho}\\ 收敛域（-R,R）$

幂级数展开

$f(x)=\dfrac{1}{1+x}=\sum\limits_0^\infty(-1)^nx^n\\ f(x)=\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_0^\infty x^n$
未完待续。。。