02197 概率论与数理统计 知识点
前置知识
排列组合
- 排列
与顺序有关
\(C_m^n=\dfrac{n!(m-n)!}{m!}\) - 组合
与顺序无关
\(A_m = m!\)
随机事件及概率
事件关系 及运算
\(A\cap B = AB\) A和B同时发生(A,B)(A且B)
\(A\cup B\) A或B至少有一个发生【至少有一个发生 通常要使用逆事】
\(A\subset B\) A发生B 必发生
\(\overline{A} = 1-A\) A的逆事件
$A\cap B = \phi $ A和B互不相容
\(A\cup B\cup C = 1\) A,B,C 形成完备事件组
事件A、B 互不影响， 则A，B相互独立
摩根律:
\(\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}\)
\(\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}\)
条件概率：
\(P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}\)
\(P=\dfrac{样本点}{样本空间}\)
全概率公式：
所有原因下产生结果的概率：
例：12个乒乓都是新球， 每次比赛取3个球赛完后放回， 第三次比三全是新球的概率是？
解： 第一次肯定全是新球， 第二次可能（0,1,2,3）个新球
分别求出第二次（0,1，2，3） 下第三次全是新球的概率然后想加。
$\sigma$
贝叶斯公式：
常见分布的均值和方差
| 函数 | 表示符号 | 概率函数 | 分布函数 | 均值 | 方差 | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-1分布 | ||||||
| 二项分布 | \(x\thicksim B(b,p)\) | \(C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\) | \(np\) | \(np(1-p)\) | ||
| 均匀分布 | \(x\thicksim U(a,b)\) | \(\begin{cases}0 & x< a\\ \dfrac{1}{b-a} &a<x<b \\ 0 & x>b\end{cases}\) | \(\begin{cases}0 & x< a\\ \dfrac{x-a}{b-a} &a<x<b \\ 1 & x>b\end{cases}\) | \(\dfrac{b-a}{2}\) | \(\dfrac{(b-a)^2}{12}\) | |
| 正态分布 | \(x\thicksim N(u, \sigma)\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\int_0^x e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}\) | u | \(\sigma^2\) | \(\dfrac{x-u}{\sigma}\)为标准正态分布 |
| 标准正态分布 | \(x\thicksim N(0, 1)\) | 0 | 1 | |||
| 泊松分布 | \(x\thicksim \pi(\lambda)\) | \(P(x=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\) | \(\lambda\) | \(\lambda\) | ||
| 指数分布 | \(x\thicksim E(\lambda)\) | \(\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & x> 0 \\0 &x <= 0\end{cases}\) | \(\begin{cases}1-e^{-\lambda x} & x> 0 \\0 &x <= 0\end{cases}\) | \(\dfrac{1}{\lambda}\) | \(\dfrac{1}{\lambda^2}\) |
协方差
\[Cov(x,y) = E(xy)- E(x)E(y) \\
D(x\pm y) = D(x) + D(y) \pm 2Cov(x,y)
\]
切比雪夫不等式
\[P\{|x-E(x)| \geqslant \varepsilon \} \leqslant \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} \\
P\{|x-E(x)| < \varepsilon \} >1- \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2}
\]
参数估计
| 所估计参数 | 条件 | 统计量 | 置信区间 |
|---|---|---|---|
| u | \(\sigma^2\)已知 | \(U= \dfrac{\overline{X}-u}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}\) | \([\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]\) |
| u | \(\sigma^2\)未知 | \(T= \dfrac{\overline{X}-u}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}}\) | \([\overline{X}-\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\overline{X}+\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)]\) |
| \(\sigma^2\) | u未知 | \(\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\) | \([\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}]\) |
识记方法, 对均值的估计应为样本均值\(\overline{X}\) 附近, 区间长度为为\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}\)或者\(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)
假设检验
未完待续
