02197 概率论与数理统计 知识点

前置知识

排列组合

• 排列 与顺序有关
  $C_m^n=\dfrac{n!(m-n)!}{m!}$
• 组合 与顺序无关
  $A_m = m!$

随机事件及概率

事件关系 及运算

$A\cap B = AB$ A和B同时发生(A,B)(A且B)
$A\cup B$ A或B至少有一个发生【至少有一个发生 通常要使用逆事】
$A\subset B$ A发生B 必发生
$\overline{A} = 1-A$ A的逆事件
$A\cap B = \phi$ A和B互不相容
$A\cup B\cup C = 1$ A,B,C 形成完备事件组
事件A、B 互不影响， 则A，B相互独立
摩根律:
$\overline{A\cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$
$\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
条件概率：
$P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}$
$P=\dfrac{样本点}{样本空间}$
全概率公式：
所有原因下产生结果的概率：

例：12个乒乓都是新球， 每次比赛取3个球赛完后放回， 第三次比三全是新球的概率是？
解： 第一次肯定全是新球， 第二次可能（0,1,2,3）个新球
分别求出第二次（0,1，2，3） 下第三次全是新球的概率然后想加。
$\sigma$

贝叶斯公式：

常见分布的均值和方差

函数	表示符号	概率函数	分布函数	均值	方差	备注
0-1分布
二项分布	$x\thicksim B(b,p)$	$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$		$np$	$np(1-p)$
均匀分布	$x\thicksim U(a,b)$	$\begin{cases}0 & x< a\\ \dfrac{1}{b-a} &a<x<b \\ 0 & x>b\end{cases}$	$\begin{cases}0 & x< a\\ \dfrac{x-a}{b-a} &a<x<b \\ 1 & x>b\end{cases}$	$\dfrac{b-a}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
正态分布	$x\thicksim N(u, \sigma)$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}$	$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}\int_0^x e^{-\frac{(x-u)^2}{2\sigma^2}}$	u	$\sigma^2$	$\dfrac{x-u}{\sigma}$为标准正态分布
标准正态分布	$x\thicksim N(0, 1)$			0	1
泊松分布	$x\thicksim \pi(\lambda)$	$P(x=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$		$\lambda$	$\lambda$
指数分布	$x\thicksim E(\lambda)$	$\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & x> 0 \\0 &x <= 0\end{cases}$	$\begin{cases}1-e^{-\lambda x} & x> 0 \\0 &x <= 0\end{cases}$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$

协方差

$$Cov(x,y) = E(xy)- E(x)E(y) \\ D(x\pm y) = D(x) + D(y) \pm 2Cov(x,y)$$

切比雪夫不等式

$$P\{|x-E(x)| \geqslant \varepsilon \} \leqslant \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2} \\ P\{|x-E(x)| < \varepsilon \} >1- \dfrac{D(x)}{\varepsilon^2}$$

参数估计

所估计参数	条件	统计量	置信区间
u	$\sigma^2$已知	$U= \dfrac{\overline{X}-u}{\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}}$	$[\overline{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, \overline{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}]$
u	$\sigma^2$未知	$T= \dfrac{\overline{X}-u}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}}$	$[\overline{X}-\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1),\overline{X}+\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)]$
$\sigma^2$	u未知	$\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$	$[\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)},\dfrac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)}]$

识记方法, 对均值的估计应为样本均值$\overline{X}$ 附近, 区间长度为为$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} u_{\frac{\alpha}{2}}$或者$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

假设检验

未完待续