有理标准型与Jordan标准型

$\S$ 1.有理标准型

思想：数域 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵的相似等价类由矩阵的不变因子或者初等因子确定，我们
可以利用初等因子在每个相似等价类中找一个形式简单的代表矩阵。

$Def$

$\color{red}{Def}$ 设

f (λ) = λ^{n} + b_{1} λ_{n - 1} + . . . + b_{n - 1} λ + b_{n} \in F [λ]

$f(\lambda)=\lambda^n+b_1\lambda_{n-1}+...+b_{n-1}\lambda+b_n\in \mathbb{F}[\lambda]$

称 $n$ 阶方阵

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & . . . & 0 & - b_{n} \\ 1 & 0 & . . . & 0 & - b_{n - 1} \\ 0 & 1 & . . . & 0 & - b_{n - 2} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & . . . & . . . & 1 & - b_{1} \end{matrix})

$A= \begin{pmatrix} 0&0&...&0&-b_n \\ 1&0&...&0&-b_{n-1}\\ 0&1&...&0&-b_{n-2}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&...&...&1&-b_{1} \end{pmatrix}$

为多项式 $f(\lambda)$ 的 $\color{red}{伴侣矩阵或友阵(companion matrix/rational block)}$

$例1$ 矩阵 $A$ 的特征多项式

f_{A} λ = | λ E_{n} - A | = | \begin{matrix} λ & 0 & . . . & 0 & b_{n} \\ - 1 & λ & . . . & 0 & b_{n - 1} \\ . . . & . . . & . . . & . . . & . . . \\ 0 & 0 & . . . & λ & b_{2} \\ 0 & 0 & . . . & - 1 & λ + b_{1} \end{matrix} | = (λ + b_{1}) λ^{n - 1} + b_{2} * (- 1)^{n - 1 + n} | \begin{matrix} λ \\ - 1 & λ \\ . . . \\ - 1 & λ \\ 0 & - 1 \end{matrix} | + . . . + b_{n} * (- 1)^{1 + n} | \begin{matrix} - 1 & λ & . . . & 0 \\ . . . \\ - 1 & λ \\ - 1 \end{matrix} | = f (λ)

$f_A{\lambda}=|\lambda E_n-A|= \left| \begin{matrix} \lambda&0&...&0&b_n\\ -1&\lambda&...&0&b_{n-1}\\ ...&...&...&...&...\\ 0&0&...&\lambda&b_2\\ 0&0&...&-1&\lambda+b_1 \end{matrix}\right | \\ =(\lambda+b_1)\lambda^{n-1}+b_2*(-1)^{n-1+n}\left | \begin{matrix} \lambda\\ -1&\lambda\\ &&...&&\\ &&&-1&\lambda&\\ &&&&0&-1 \end{matrix}\right| +...+b_n*(-1)^{1+n}\left |\begin{matrix} -1&\lambda&...&0\\ ...\\ &&-1&\lambda\\ &&&-1 \end{matrix}\right | =f(\lambda)$

$例2$ 矩阵 $A$ 的极小多项式

$\color{red}{Claim}$ $m_A{(\lambda)}=f_A{(\lambda)}=f{(\lambda)}$ 或者说任意 $deg <n$ 的多项式都不能零化矩阵。( $\iff\mathbb{E}_n,A,A_2,...,A^{n-1}$ 线性无关, $A\in M_n{\mathbb{(F)}}$ )
$Proof$ 令 $\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的标准单位向量，
则 $A(\epsilon_{i})=\epsilon_{i+1} ,1\leq i\leq n-1$
设 $k_0,k_1,...,k_{n-1}\in \mathbb{F}$ 满足 $k_0\epsilon_1+k_1\epsilon_2+...+k_{n-1}\epsilon_{n}=0$
那么 $(k_0E+k_1A+...+k_{n-1}A^{n-1})\epsilon_1=k_0\epsilon_1+...+k_{n-1}\epsilon_{n}=0$
则 $k_0=k_1=...=k_{n-1}=0$ 必然成立，线性无关得证。
所以 $m_A{(\lambda)}=f(\lambda)$

$例3$ 矩阵 $A$ 的行列式因子和不变因子

需要注意的是， $A$ 已经存在了一个行列式为 $(-1)^{n-1+2+1}$ 的 $n-1$ 阶子式，故行列式因子

D_{1} (λ) = D_{2} (λ) = . . . = D_{n - 1} (λ) = 1, D_{n} (λ) = f (λ)

$D_1(\lambda)=D_2(\lambda)=...=D_{n-1}{(\lambda)}=1,D_n{(\lambda)}=f(\lambda)$

不变因子

d_{1} (λ) = . . . = d_{n - 1} (λ) = 1, d_{n} λ = f (λ)

$d_1(\lambda)=...=d_{n-1}(\lambda)=1,d_n{\lambda}=f(\lambda)$

$Thm$

$\color{red}{Thm}$ 设 $A\in M_n{\mathbb{(F)}}$ ，则 $A$ 一定相似于对角块为友阵的准对角块。特别地，若 $g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的所有初等因子，则 $A$ 与 $N$ 相似，

其 中 ， N = (\begin{matrix} N_{1} \\ . . . \\ N_{t} \end{matrix}), N_{i} 是 g_{i} (λ) 的 友 阵

$其中，N=\begin{pmatrix}N_1&&\\&...&\\&&N_t\end{pmatrix},N_i是g_i(\lambda)的友阵$

并且，在不计对角块顺序的情况下唯一。
$证明：$

点击查看证明

只需要证明

A

$A$ 与

N

$N$ 相似

⟺ N

$\iff N$ 的初等因子为

g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ)

$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)\\$ 设

n_{i} = d e g g_{i} (λ) \Rightarrow N_{i} \in M_{N_{i}} ((F))

$n_i=deg g_i(\lambda)\Rightarrow N_i\in M_{N_i}(\mathbb{(F)})$

λ E_{n} - N = (\begin{matrix} λ E_{n_{1}} - N_{1} \\ . . . & . . . & . . . \\ λ E_{n_{t}} - N_{t} \end{matrix})

$\lambda E_n-N= \begin{pmatrix} \lambda E_{n_1}-N_1 && \\ ...&...&...\\ &&\lambda E_{n_t}-N_t\\ \end{pmatrix}$ 由

N_{i}

$N_i$ 是

g_{i} (λ)

$g_i(\lambda)$ 的友阵知

N_{i}

$N_i$ 的不变因子为

1, 1, . . ., 1, g_{i} (λ)

$1,1,...,1,g_i(\lambda)$ (包含了

n_{i} - 1

$n_i-1$ 个

1

$1$ )

\Rightarrow

$\Rightarrow$

λ E_{n_{i}} - N_{i} 与 (\begin{matrix} 1 \\ . . . & . . . & . . . \\ g_{i} (λ) \end{matrix}) 相 抵

$\lambda E_{n_i}-N_i与 \begin{pmatrix} 1&&\\ ...&...&...\\ &&g_i(\lambda) \end{pmatrix} 相抵$

\Rightarrow

$\Rightarrow$

\exists Q_{i} (λ), P_{i} (λ) 可 逆 s . t . P_{i} (λ) (λ E_{n_{i}} - N_{i}) Q_{i} (λ) = (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ g_{i} (λ) \end{matrix})

$\exists Q_i(\lambda),P_i(\lambda)可逆 s.t. P_i(\lambda)(\lambda E_{n_i}-N_i)Q_i(\lambda)= \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_i(\lambda) \end{pmatrix}$ 则令

P (λ) = (\begin{matrix} P_{1} (λ) \\ . . . \\ P_{t} (λ) \end{matrix}) Q (λ) = (\begin{matrix} , Q_{1} (λ) \\ . . . \\ Q_{t} (λ) \end{matrix})

$P(\lambda)= \begin{pmatrix} P_1(\lambda)&&\\ &...&\\ &&P_t(\lambda) \end{pmatrix} Q(\lambda)= \begin{pmatrix} ,Q_1(\lambda)&&\\ &...&\\ &&Q_t(\lambda) \end{pmatrix}$ 由已知

P (λ), Q (λ)

$P(\lambda),Q(\lambda)$ 必然可逆，则

P (λ) (λ E_{n} - N) Q (λ) = [\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ g_{1} (λ) \end{matrix}) \\ . . . \\ (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ g_{t} (λ) \end{matrix}) \end{matrix}] ≜ B (λ)

$P(\lambda)(\lambda E_n-N)Q(\lambda)= \left [ \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_1(\lambda) \end{pmatrix} &&\\ &...&\\ && \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&g_t(\lambda) \end{pmatrix} \end{matrix} \right ] \triangleq B(\lambda)$ 即

λ E_{n} - N

$\lambda E_n-N$ 与

B (λ)

$B(\lambda)$ 相抵

(⟺) \Rightarrow

$(\iff)\Rightarrow$ 有相同的初等因子。而

B (λ)

$B(\lambda)$ 的初等因子为

g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ)

$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)$ 的准素因子，且

g_{i} (λ)

$g_i(\lambda)$ 是

A

$A$ 的准素因子

\Rightarrow B (λ)

$\Rightarrow B(\lambda)$ 的初等因子就是

g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ)

$g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)$

\Rightarrow N 与 A 有 相 同 的 初 等 因 子 \Rightarrow 相 似

$\Rightarrow N与A有相同的初等因子\Rightarrow 相似$

$Def$

$\color{red}{Def}$ 称 $N$ 为 $A$ 的有理标准型 $/Frobenius$ 标准型。

$RK$

$\color{blue}{RK}$ $A\in M_n(\mathbb{F})$
$(1)D_n(\lambda)=f_A(\lambda)\\ (2)A的所有不变因子的积为f_A(\lambda)\\ (3)A的初等因子之积为f_A(\lambda)\\ (4)A的第n个不变因子为A的极小多项式$

Thm

$\color{red}{Thm}$ $A\in M_n(\mathbb{F}),d_n(\lambda)是A的第n个不变因子，则m_A(\lambda)=d_n(\lambda).

Cor

$\color{red}{Cor}$ 设 $A\in M_n(\mathbb(F)) \subseet M_n(\mathbb{R}),设m_1(\lambda)为A作为\mathbb{F}上矩阵的极小多项式,m_2(\lambda)为\mathbb{R}上的，则m_1(\lambda)=m_2(\lambda).$
证明：

点击查看证明

设 g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ) 是 A 的 所 有 的 初 等 因 子 \Rightarrow [g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ)] = d_{n} (λ) . 由 有 理 标 准 型 ， A 与 N 相 似, N = (\begin{matrix} N_{1} \\ . . . \\ N_{t} \end{matrix}), N_{i} 为 g_{i} (λ) 的 友 阵 。 \Rightarrow m_{A} (λ) = m_{x} (λ) = [m_{N_{1}} (λ), . . ., m_{N_{t}} (λ)] = [g_{1} (λ), . . ., g_{t} (λ)]

$设g_1(\lambda),...,g_t(\lambda) 是A的所有的初等因子\\ \Rightarrow [g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)]=d_n(\lambda). 由有理标准型，A与N相似,N= \begin{pmatrix} N_1\\ &...\\ &&N_t \end{pmatrix} ,N_i为g_i(\lambda)的友阵。 \Rightarrow m_A(\lambda)=m_x(\lambda)=[m_{N_1}(\lambda),...,m_{N_t}(\lambda)]=[g_1(\lambda),...,g_t(\lambda)]$

$\S2\ Jordan标准型(\mathbb{R}上)$

$Def$

$\color{red}{Def}$

设 k \in C, 称 如 下 形 式 的 矩 阵 J_{n} (k) ≜ (\begin{matrix} k \\ 1 & k \\ 1 & k \\ . . . \\ k \\ 1 & k \end{matrix}) \in M_{n} (C) 或 其 转 置 矩 阵 为 一 个 n 阶 J o r d a n 块 . 称 对 角 线 为 J o r d a n 块 的 准 对 角 为 J o r d a n 块 的 准 对 角 线 矩 阵 为 一 个 J o r d a n 矩 阵 ， 并 且 其 中 每 一 个 J o r d a n 块 的 形 式 是 相 同 的 .

$设k\in \mathbb{C},称如下形式的矩阵 J_n(k)\triangleq \begin{pmatrix} k\\ 1&k\\ &1&k\\ &&&...\\ &&&&k\\ &&&&1&k\\ \end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{C}) 或其转置矩阵为一个n阶Jordan块. 称对角线为Jordan块的准对角为Jordan块的准对角线矩阵为一个Jordan矩阵，并且其中每一个Jordan块的形式是相同的.$

$例3\ J_n的行列式因子和初等因子$

λ E_{n} - J_{n} (k) = (\begin{matrix} λ - k \\ - 1 & λ - k \\ - 1 \\ . . . \\ λ - k \\ - 1 & λ - k \end{matrix}) 注 意 到 有 一 个 行 列 式 绝 对 值 为 1 的 n - 1 阶 子 式 \Rightarrow D_{n - 1} (J_{n} (k)) = 1 D_{n} (J_{n} (k)) = (λ - k)^{N} \Rightarrow J_{n} (k) 的 初 等 因 子 为 (λ - k)^{n}

$\lambda E_n-J_n(k)= \begin{pmatrix} \lambda-k\\ -1&\lambda-k\\ &-1\\ &&...\\ &&&\lambda-k\\ &&&-1&\lambda-k \end{pmatrix}\\ 注意到有一个行列式绝对值为1的n-1阶子式 \Rightarrow D_{n-1}(J_n(k))=1 D_n(J_n(k))=(\lambda-k)^N \Rightarrow J_n(k)的初等因子为(\lambda-k)^n$

$Thm$

$\color{red}{Thm}$ $\mathbb{C}$ 上任意矩阵与一个 $Jordan$ 阵相似，特别地，若 $A$ 的初等因子为 $(\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda)^{n_t}$ ，则 $A$ 相似于

J_{A} ≜ (\begin{matrix} J_{n_{1}} (λ_{1}) \\ . . . \\ J_{n_{t}} (λ_{t}) \end{matrix})

$J_A\triangleq \begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1)&&\\ &...&\\ &&J_{n_t}(\lambda_t) \end{pmatrix}$

同时，我们称 $J_A$ 为 $A$ 的 $Jordan$ 标准型。(不计对角块顺序唯一)
证明：

点击查看证明

只需证 $J_A$ 的初等因子为 $(\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda_t)^{n_t}$ \n
已知

λ E_{n_{i}} - J_{n_{i}} (λ_{i}) 与 (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ (λ - λ_{i})^{n_{i}} \end{matrix}) \Rightarrow λ E_{n} - J_{n} λ 与 [\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ (λ - λ_{1})^{n_{1}} \end{matrix}) \\ . . . \\ (\begin{matrix} 1 \\ . . . \\ (λ - λ_{t})^{n_{t}} \end{matrix}) \end{matrix}] 相 抵

$\lambda E_{n_i}-J_{n_i}(\lambda_i)与 \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_i)^{n_i}\\ \end{pmatrix} \Rightarrow \lambda E_n-J_n{\lambda}与 \left [ \begin{matrix} \begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_1)^{n_1}\\ \end{pmatrix}&&\\ &...&\\ &&\begin{pmatrix} 1&&\\ &...&\\ &&(\lambda-\lambda_t)^{n_t}\\ \end{pmatrix} \end{matrix} \right ] 相抵$

于是有相同的初等因子为 $(\lambda-\lambda_1)^{n_1},...,(\lambda-\lambda_t)^{n_t}$

RK

$\color{blue}{RK}$ 设 $A\in M_n(\mathbb{C})$ , $\lambda_0\in\mathbb{C}$ 是 $A$ 的一个特征值。
$(1) 则A的Jordan标准型中以\lambda_0为Jordan块的个数=dim_{\mathbb{C}}V_{\lambda_0}=n-r(\lambda E_n -A)$

点击查看证明

设 J_{A} 中 有 s 个 以 λ_{0} 为 特 征 值 的 J o r d a n 标 准 块 A 与 J_{A} 相 似 \Rightarrow λ E_{n} - A 相 似 于 λ_{0} E_{n} - J_{A} 不 妨 设 J_{A} = (\begin{matrix} J_{L_{1}} (λ_{0}) \\ . . . \\ J_{L_{s}} (λ_{0}) \\ J_{1} \\ . . . \\ J_{m} \end{matrix}) 其 中 J_{1}, . . ., J_{m} 不 以 λ_{0} 为 特 征 值 。 r (λ_{0} E_{n} - A) = r (λ_{0} E_{n} - J_{A}) λ_{0} E_{n} - J_{A} = (\begin{matrix} λ_{0} E_{L_{1}} - J_{L_{1}} (λ_{0}) \\ . . . \\ λ_{0} E_{L_{s}} - J_{L_{s}} (λ_{0}) \\ λ_{0} E - J_{1} \\ . . . \\ λ_{0} E - J_{n} \end{matrix}) \Rightarrow n - r (λ_{0} - E_{n} - J_{A}) = s

$设J_A中有s个以\lambda_0为特征值的Jordan标准块 A 与J_A相似 \Rightarrow \lambda E_n-A 相似于 \lambda_0 E_n-J_A 不妨设J_A= \begin{pmatrix} J_{L_1}(\lambda_0)&&\\ &...&\\ &&J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&J_1\\ &&&&...&\\ &&&&&J_m\\ \end{pmatrix} 其中J_1,...,J_m不以\lambda_0为特征值。\\ r(\lambda_0E_n-A)=r(\lambda_0E_n-J_A)\\ \lambda_0 E_n-J_A= \begin{pmatrix} \lambda_0E_{L_1}-J_{L_1}(\lambda_0)\\ &...\\ &&\lambda_0E_{L_s}-J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&\lambda_0E-J_1\\ &&&&...\\ &&&&&\lambda_0E-J_n\\ \end{pmatrix} \Rightarrow n-r(\lambda_0-E_n-J_A)=s$

$(2)J_A中以\lambda_0为特征值的所有Jordan块的阶的和=\lambda_0的代数重数.$

点击查看证明

\Rightarrow f_{A} (λ) = f_{J_{A}} (λ) = ‖ λ E_{L_{1}} - J_{L_{1}} (λ_{0}) ‖ * . . . * ‖ λ E - J_{m} ‖ = f_{J_{L_{1}} (λ_{0})} (λ) * . . . * f_{J_{m}} (λ) = (λ - λ_{0})^{L_{1}} * . . . * (λ - λ_{0})^{L_{s}} * f_{J_{1}} (λ) * . . . * f_{J_{m}} (λ) . 由 假 设 ， λ - λ_{0} ∤ f_{J_{1}} (λ) * . . . * f_{J_{m}} (λ) 所 以 ， λ_{0} 的 代 数 重 数 = l_{1} + . . . + l_{s} .

$\Rightarrow f_A(\lambda)=f_{J_A}(\lambda)=\|\lambda E_{L_1}-J_{L_1}(\lambda_0)\|*...*\|\lambda E-J_m\|\\ =f_{J_{L_1}(\lambda_0)}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda)\\ =(\lambda-\lambda_0)^{L_1}*...*(\lambda-\lambda_0)^{L_s}*f_{J_1}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda).\\ 由假设，\lambda - \lambda_0 \nmid f_{J_1}(\lambda)*...*f_{J_m}(\lambda)\\ 所以，\lambda_0 的代数重数= l_1 +...+ l_s .$

$(3)J_A中以\lambda_0为特征值的Jordan块且阶\geq 2的个数为rank(\lambda_0 E_n-A)-rank[(\lambda_0 E_n-A)^2]\\ (阶次为t的)n-2rank(\lambda_0E_n-A)+rank[(\lambda_0E_n-A)^2]$

点击查看证明

设 有 t 个 λ_{0} 的 一 阶 块 。 则 A 可 以 设 为 (\begin{matrix} λ_{0} \\ . . . \\ λ_{0} \\ J_{L_{1}} (λ_{0}) \\ . . . \\ J_{L_{s}} (λ_{0}) \\ J_{1} \\ . . . \\ J_{m} \end{matrix}) λ_{o} E_{n} - J_{A} = (\begin{matrix} 0 * E_{t} \\ - J_{L_{1}} (0) \\ . . . \\ J_{L_{s}} (0) \\ λ_{0} E - J_{1} \\ . . . \\ λ_{0} E - J_{m} \end{matrix}) (λ_{0} E_{n} - J_{A})^{2} = (\begin{matrix} (0 * E_{t})^{2} \\ (- J_{L_{1}} (0))^{2} \\ . . . \\ (- J_{L_{s}} (0))^{2} \\ (λ_{0} E - J_{1})^{2} \\ . . . \\ (λ_{0} E - J_{m})^{2} \end{matrix}) r (λ_{0} E_{n} - J_{A}) = n - t - s . r [(λ_{0} E_{n} - J_{A})^{2}] = n - t - 2 s .

$设有t个\lambda_0的一阶块。\\ 则A可以设为 \begin{pmatrix} \lambda_0\\ &...\\ &&\lambda_0\\ &&&J_{L_1}(\lambda_0)\\ &&&&...\\ &&&&&J_{L_s}(\lambda_0)\\ &&&&&&J_1\\ &&&&&&&...\\ &&&&&&&&J_m \end{pmatrix}\\ \lambda_oE_n-J_A= \begin{pmatrix} 0*E_t\\ &-J_{L_1}(0)\\ &&...\\ &&&J_{L_s}(0)\\ &&&&\lambda_0E-J_1\\ &&&&&...\\ &&&&&&\lambda_0E-J_m \end{pmatrix}\\ (\lambda_0E_n-J_A)^2= \begin{pmatrix} (0*E_t)^2\\ &(-J_{L_1}(0))^2\\ &&...\\ &&&(-J_{L_s}(0))^2\\ &&&&(\lambda_0E-J_1)^2\\ &&&&&...\\ &&&&&&(\lambda_0E-J_m)^2\\ \end{pmatrix}\\ r(\lambda_0E_n-J_A)=n-t-s.\\ r[(\lambda_0E_n-J_A)^2]=n-t-2s.$

$ex$

$A\in M_n(\mathbb{C}),J_A是A的Jordan标准型，\lambda_0是A的特征值，\lambda_0\in mathbb{C}\\ 则J_A中以\lambda_0为特征值且阶\geq t的Jordan块的个数=rank[(\lambda_0E_n-A)^{t-1}]-rank[(\lambda_0E_n-A)^t]$

$ex$

$A\in M_n(\mathbb{F})且f_A(\lambda)=\prod (\lambda-\lambda_i)^{r_i},\lambda_i\in\mathbb{F},r_i\leq 1. 问A在\mathbb{F}上是否与J_A相似.$

$例\ 求A的Jordan标准型J_A及可逆矩阵P，AP=PJ_A$

$1.A= \begin{pmatrix} 13&16&16\\ -5&-7&-6\\ -6&-8&-7\\ \end{pmatrix}\\ (1)求得f_A{\lambda}=(\lambda-1)^2(\lambda+3)\\ (2)求所有特征值的特征子空间(解线性方程)\\ 利用\lambda_iE_3-A\\ \lambda=-3,\xi_1=\begin{pmatrix} 2\\-1\\-1 \end{pmatrix}\\ \lambda=1,\xi_2=\begin{pmatrix} 4\\-1\\-2 \end{pmatrix}\\ J_A=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 1&1&0\\ 0&0&-3\\ \end{pmatrix}\\ (3)P=\begin{pmatrix} \gamma_1&\gamma_2&\gamma_3 \end{pmatrix},解AP=PJ_A. \\2.A=\begin{pmatrix} 2&-1&-1\\ 2&-1&-2\\ -1&1&2\\ \end{pmatrix}$

$ex\ \color{red}{Jordan-Chevalley分解}$

$A\in M_n{\mathbb{C}},证明:存在一个幂零矩阵B(\exists k\in\mathbb{N},B^k=\mathbb{0})以及一个可对角化的矩阵C,使得A=B+C且BC=CB(半单矩阵semisimple)$

posted @ 2024-05-14 17:29 WE-R 阅读(585) 评论(0) 编辑收藏举报

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$例3\ J_n的行列式因子和初等因子$

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例3 Jn的行列式因子和初等因子例3 Jn的行列式因子和初等因子例3\ J_n的行列式因子和初等因子

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