线性代数--向量

向量

n个数a1 a2 ...... an组成的有序数组(a1 a2 ... ... an) a1..又称为分量维数

行向量
列向量
只是形式不同
零向量
分量全是0
负向量
相反数
两个向量相等
同维向量
向量相加减
k是数另一个是向量

向量间的线性关系

线性关系：用某些向量能表示一个向量

线性组合：
$β, α_{1}, α_{2}, \dots α_{n} 是 m 维向量，若存在 k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n}, 使 β = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n} 成立， β 是 α 向量组的线性组合，或者是 β 可以由 α 向量组线性表示$
$k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} 叫组合系数，可以全取0$
线性组合转化成方程组是否有解？能不能找到一组系数满足上式

零向量可由任意向量组来表示
$O = 0 \times α_{1} + 0 \times α_{2} + \dots + 0 \times α_{n}$
向量组中的任意向量可有向量组表示
$α_{3} = 0 \times α_{1} + 0 \times α_{2} + 1 \times α_{3} + \dots + 0 \times α_{n}$
任意向量都可由
$ε_{1} = (1, 0, \dots 0) ε_{2} = (0, 1, \dots 0) \dots ε_{n} = (0, 0, \dots 1)$
来表示又称n维单位向量组
$(1, 2, 3) = 1 \times (1, 0, 0) + 2 \times (0, 1, 0) + 3 \times (0, 0, 1)$

向量组等价

两个向量组是同维的，可以相互表示

线性相关与线性无关

无关：

向量组中两向量成比例相关
含有零向量的任意向量组相关
一个零向量必线性相关
任意一个非零向量必线性无关
部分组线性相关，整体组也线性相关
逆否命题：
整体组线性无关推出部分组线性无关
线性无关的向量组，接长向量组也线性无关
线性相关的向量组，截短向量组也线性相关
向量的个数等于向量的维数才能用
n个n维向量
D不等于0的充要条件线性无关
D等于0的充要条件线性相关
n维单位向量组线性无关

线性组合和线性相关定理

$α_{1} \dots α_{s} 相关\Leftrightarrow至少一个向量可由其余向量表示$
$α_{1} \dots α_{s} 无关, α_{1} \dots α_{s} β 相关, β 可由 α_{1} \dots α_{s} 唯一表示$
证明可表示：

证明唯一性：
替换
$α_{1} \dots α_{s} 无关,可由 β_{1} \dots β_{t} 线性表示, 则 s \leq t$
逆否命题：
$α_{1} \dots α_{s} 可由 β_{1} \dots β_{t} 来表示时,如果 s > t,则 α_{1} \dots α_{s} 相关$
m > n,m个n维向量相关向量个数>向量维数时，一定是线性相关
n+1个n维向量线性相关
推论：两个等价的线性无关组，含向量个数时相同的