线性代数--矩阵

矩阵

  • 代表一张树表
  • m*n 行数不一定等于列数
    A=(a11a1nam1amn)
  • 同型矩阵 有前提:AB行数相等 列数相等
    A34B34
  • 矩阵相等 同型矩阵并且对应的元素相等
  • 零矩阵 所有元素均为0
    两个零矩阵一定相等是错误的:矩阵相等的前提是同型矩阵

特殊矩阵

  • 方阵: 行数===列数 也有主对角线和副对角线
    一行一列:A=(1)=1
  • 负矩阵 方阵
    所有元素都取相反数
  • 上三角形矩阵,不能这样写。方阵
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  • 下三角形矩阵 方阵
  • 对角型矩阵 方阵
  • 数量矩阵 方阵
    主对角元素全是一样,特殊的对角型矩阵
  • 单位阵 方阵
    主对角元素全是1

矩阵的加减法

  • 对应的元素相加减,有前提条件,必须要为同型矩阵
    A=(123114)B=(0091013)A+B=(12121127)AB=(126901)
  • 运算规律:
  1. A + B = B + A
  2. (A + B) + C = A + (B + C)
  3. A + 0 = A 0为零矩阵 必须为同型矩阵
  4. A +(-A)= 0
  5. A - B = A +(-B)
  6. A + B = C A = C - B

矩阵的数乘

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  • 矩阵提公因子:矩阵的所有元素均有公因子k,k向外提一次
  • 行列式提公因子:
  1. 行列式的某一行有公因子k,k向外提一次
  2. 行列式的所有元素均有公因子k,k往外提n次
  • 运算规律 K,L是数
  1. K(A + B) =KA + KB
  2. (K + L) A = KA + LA
  3. (kL)A = k(LA) = L(kA)
  4. 1 * A = A
  5. -1 * A = -A

矩阵的乘法

"中间相等,取两头"
A2×4B4×3=C2×3

  • 两个矩阵做乘法的前提条件
    第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数
  • 结果矩阵的形状
    结果矩阵的行数=第一个矩阵的行数
    结果矩阵的列数=第二个矩阵的列数
  • 乘法不满足
  1. 不满足交换律 AB 一般不等于 BA,AB有意义时,BA不一定有意义
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  2. 不满足消去律 AB = AC 且A不等于0 推不出B===C
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  3. AB = 0 推不出 A=0 或 B=0
  • 左乘右乘,不能搞反,有问题
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  • 矩阵乘法满足
  1. 结合律 (AB)C = A(BC)
  2. 分配律 A(B+C)= AB + AC (B+C)A= BA + CA
  3. k(AB) = (kA)B = A(kB)
  4. AE = EA = A
  5. AO = OA = O O是零矩阵
  6. 对角型 [a000a000a]=a[100010001]=aE
  7. [a1000a2000an][b1000b2000bn]=[a1b1000a2b2000anbn]

矩阵可交换的 AB= BA

  1. AB是同阶方阵
  2. 不是同阶方阵 一定不可交换
  3. AB BA不相等 不可交换
  4. E任何同阶方阵均可交换 EA = AE = A
  5. 同阶的对角阵也可交换

方阵的幂 只有方阵才能求

Ak=AAAAA0=E

  • 性质
  1. Ak1Ak2=Ak1+k2
  2. (Ak1)k2=Ak1k2
  • 公式

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2. 二次公式
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3. 三次公式
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4. 十字
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例1:
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矩阵的转置

Am×n=(AT)n×m

  • 性质
  1. (AT)T=A
  2. (A+B)T=AT+BT
    (AB)T=ATBT
  3. (kA)T=kAT
  4. (AB)T=BTAT
    (ABC)T=CTBTAT
  5. (Ak)T=(AT)k

对称矩阵和反对称矩阵

奇数阶反对称行列式等于0
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方阵的行列式 只有方阵才有行列式

A=(123456789)|A|=|123456789|

  • 性质:
  1. |AT|=|A|
  2. |kA|=kn|A|
  3. |AB|=|A||B|
  4. |Am|=|A|m
  5. |E|=1

伴随矩阵 只有方阵才能求伴随矩阵

按行求的代数余子式按列放
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  • 性质
  1. 任何时候都成立
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  2. |A|=|A|n1
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  3. (AT)=(A)T
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逆矩阵

设A为n阶方阵,若存在n阶方阵B,使AB = BA = E
A是可逆阵, A1=B

  • 只有方阵,有资格讨论可逆,不可逆
  • 若A可逆,逆阵是唯一的
  • 未必所有方阵都可逆
  • 非奇异-可逆-满秩-非退化
    奇异-不可逆-降秩-退化
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  1. 怎么判断A可逆不可逆?
  2. A可逆,逆矩阵怎么求?
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  • 推论:
    A B是n阶方阵,若AB=E(或BA=E)
    则A可逆且A1=B
  • 性质
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矩阵方程

初等变换

  • 行/列, 用箭头连接
  1. 交换两行/列
  2. 非零数乘以某一行/列
  3. 某一行/列的L倍加到另一行/列上去

标准型

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行阶梯型矩阵

  • 如果有0行, 0行都在非零行的下面
  • 非0行的首非0元的左下方的元素(若有的话)全是0
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    画的要点: 竖线只过一个数,横线可过多个数

行简化阶梯型

  1. 必须先是阶梯型
  2. 非0行的首非零元必须都是1
  3. 非0行的首非零元所在的列,除了它自己,其他元素必须都是0
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    任何的矩阵A都可以经过初等变换化成阶梯型,然后做初等行变换变为行简化阶梯型
  • 阶梯型不唯一
  • 如果只做初等行变化,行简化阶梯型是唯一的

初等矩阵 方阵

  • 由单位阵E做一次初等变换(行,列)得到的矩阵,三种变换
    性质:
  1. 初等矩阵的行列式不为0
  2. 初阵的转置阵仍是同类型的初阵
  3. 初等矩阵均可逆,其逆矩阵也是同种类型的初等矩阵
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  • A做一次行变换,相当于同种的初等矩阵左乘A
    A做一次列变换,相当于同种的初等矩阵右乘A
  • 推论: A,B等价的充要条件存在可逆PQ PAQ = B
    等价:矩阵A通过初等变换得B
    A可逆的充要条件A的标准型为E
    A可逆的充要条件表示为初等矩阵的乘积
    A=P1Ps
    求逆矩阵的方法:初等行变换法 (只做行变换)
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    注:不管是否可逆,如左边化不成E,说明原来A不可逆

矩阵的秩

  • 秩: 非零子式的最高阶数
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  • 求秩
    充要条件: r(A) = 0 有一个r阶子式不为0,而所有的r+1阶全为0
  1. 阶梯型矩阵的秩:非零元行的行数
  2. 初等变换(行列)不改变矩阵的秩
  • 性质
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posted @   躺尸的大笨鸟  阅读(140)  评论(0编辑  收藏  举报
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