整除分块简述

整除分块其实是一种比较简单的 $trick$，主要是和莫比乌斯反演放在一起使用。

向下取整

例如，给你一个式子 $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 求值，这个时候我们就可以使用整除分块。

显然我们可以发现，当 $i$ 取不同的值时，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值可能是相同的，并且这一段相同的一定是连续的。所以我们可以尝试把相同的段作为一个整体来处理。

现在我们遇到的问题：如何分段？如何处理段内的值？

我们设这一个段，它的左边界是 $l$，右边界是 $r$，段内每个值都是 $k$（则段长自然是 $(r-l+1)$，段内总值为 $(r-l+1)\ast k$）

所以我们可以得到 $k=\lfloor \frac{n}{l}\rfloor$。

由于每一段内的值都是相同的，所以一定有 $i\ast k\le n$。

由此函数非严格的单调性可以得到 $i_{max}\ast k\le n$，然后 $i_{max}$ 其实就是 $r$。

联立两个式子$\{\begin{array}{l}k=\lfloor \frac{n}{l}\rfloor \\ rk\le n\end{array}$

解得 $r=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{l}\rfloor }\rfloor$。

然后就可以写代码了。

for(int l=1,r;l<=n;r=l+1)
{
	k=n/l;
	r=n/k;
	tot+=(r-l+1)*k;
}

时间复杂度是 $O(\sqrt{n})$

向上取整

例如，给你一个式子 $\sum _{i=1}^n\lceil \frac{n}{i}\rceil$ 求值。

我们只需要把其转化为向下取整。

如何转化？观察发现，我们因为整除的存在，我们无法直接写成向下取整加1的形式。我们只需要对每个 $\frac{n}{i}$ 加上 $\frac{i-1}{i}$ 就可以把其转化为向下取整的形式了。

即：一定有: $\sum _{i=1}^n\lceil \frac{n}{i}\rceil =\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n+i-1}{i}\rfloor$

然后就可以整除分块了。

取模

因为$kmodi=n-\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \ast i$
所以我们就可以解决形如 $\sum _{i=1}^{k}kmodi$ 的式子求值问题了（每个段内都是等差数列求和）

多维整除分块

形如 $\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{a1}{i}\rfloor \ast \lfloor \frac{a2}{i}\rfloor$ 的式子，也可以用整除分块，只是 右端点是每一个分段中最小右端点，即 : $r=min\lfloor \frac{a_i}{\lfloor \frac{a_i}{i}\rfloor }\rfloor$，计算其时间复杂度还是根号级别的。

然后你就可以去做 P2261 [CQOI2007]余数求和 了。