P7115 [NOIP2020] 移球游戏

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这道题我觉得是我做到过极好的构造题了，思路和优化的方法都比较有特点，对数据点范围的分析已经对数据的给分也比较恰到好处。之前做了这道题，特此写一篇题解。

首先要批判一下给的小样例，对解题很容易起到反作用。所以构造题不能只看样例，要自己去手搓一下，这样才方便去做。

本题我们可以把数据点分为三个部分，其对应分别为N=2的部分，时间复杂度为 $O(n^{2}m)$ ,以及时间复杂度为 $O(nmlogn)$的部分。

Sub1：n=2

看到这道题，我们就应该想到一道题面看上去极其相似的题目：汉诺塔。于是我们可以仿照汉诺塔的思路，找规律来完成此题。

此时我们假设有三根柱子 $x,y,z$ ,初始的球在 $x,y$ 上，$z$ 为空柱子。
此时我们想要把1号球全部移到一根柱子上。假设现在有 $c$ 个球在 $x$ 柱上。

Step1：将 $y$ 柱上 $c$ 个球移动到空的柱子 $z$ 上。目的：为移动 $x$ 柱上的球以分类提供空间。
Step2：对 $x$ 柱上的每个球进行分讨。具体的说，若当前球为1号球，则将其移至 $y$ 柱上；否则，将其移至 $z$ 柱上。目的：区分出 $x$ 柱上每一个球。
Step3：将 $z$ 柱上的 $(m-c)$ 个球移动到 $x$ 柱上。
Step4：将 $y$ 柱上的 $c$ 个球移动到 $x$ 柱上。 Step3、Step4目的：将 $x$ 柱上的球整理为1号球在上，2号球在下
Step5：将 $z$ 柱上的 $c$ 个球移动到 $y$ 柱上。 目的：讲 $z$ 柱腾空，方便下一步操作
Step6：将 $x$ 柱上的 $c$ 个球移动到 $z$ 柱上。 目的：就是将1号球全部移到另一根柱子上
Step7：对 $y$ 柱上的每一个球进行分讨。具体的说，若当前球为1号球，则将其移至 $z$ 柱上；否则，将其移至 $x$ 柱上。目的：完成操作

这样，七步操作结束后，我们可以得到 $x$ 柱上全是2号球，$z$ 柱上全是1号球。时间复杂度为 $O(m)$,可以过掉n=2的测试点。同时，这些操作也是这道题目的根本。

Sub2

我们的目的是整理好n根柱子上的球。此时我们可以一根一根的去做，从n到2依次递归完成。

具体做法：

假设我们现在要整理好第 $k$ 种球。此时第 $i$ 号柱子上有 $c_i$ 个颜色为 $k$ 的球。

Step1：枚举 $i$ ：从1到n 目的：将所有颜色为 $k$ 的球移到该柱子的顶端；

更具体一点的操作：
（一）：将 $k$ 柱上 $c_i$ 个球移到 $(k+1)$ 柱上。 目的：为 $k$ 柱移动出 $c_i$ 个空位。
（二）：对 $i$ 柱上每一个球进行分讨。具体的说，若当前球颜色为 $k$ ，则将其移动至 $k$ 柱上，否则，则将其移动至 $(k+1)$ 柱上。目的：对 $i$ 柱上每一个球进行区分筛选。
（三）：将 $(k+1)$ 柱上 $(m-c_i)$ 个球移回 $i$ 柱上。目的：没什么目的，就是把其他球移回原柱底部
（四）：将 $k$ 柱上 $c_i$ 个球移回 $i$ 柱上。 目的：没什么目的，就是把 $k$ 球移动到原柱顶部
（五）：将 $(k+1)$ 柱上 $c_i$ 个球移至 $k$。 目的：为下次操作留好一个空柱子。

Step2：枚举 $i$ :将 $i$ 柱顶端为 $k$ 的球移到 $(k+1)$ 柱上。

Step3：对 $k$ 柱上每一个球进行分讨。具体的说，若当前球颜色为 $k$ 则将其移动至 $(k+1)$ 柱上，否则，则将其随便移动到一个未满的柱子上。

然后我们递归去做每一次。一共要递归 $(n-1)$ 次。上述操作的时间复杂度为 $O(nm)$ ，则总时间复杂度为 $O(n^{2}m)$ ,可以得到70的高分。

Sub3

考虑对时间复杂度进行优化。上述过程可以分为两个部分去看，分别为执行操作与递归。发现操作的复杂度不好优化，选择优化递归。考虑多根颜色一起做，即分治算法。
建立一个 $solve$ 函数，定义 $mid=l+r>>1$,表示将所有颜色小于等于 $mid$ 的球与颜色大于 $mid$ 的球区分开。
即：不存在一根柱子上同时存在颜色大于等于 $mid$ 的球与颜色小于 $mid$ 的球，然后分治即可。

如何区分：每轮取出 $(r-l+1)$ 根柱子，每次取出两根柱子，若颜色小于等于 $mid$ 的球数大于 $m$ ,则任选 $m$ 个小于等于 $mid$ 的球，对其进行 $Sub1$ 中的操作。大于同理。

分治总共要 $logn$ 层。每次操作为 $O(nm)$ 的时间复杂度，所以总时间复杂度为 $O(nmlogn)$ 可以A掉此题。

这真是一道不可多得的构造好题娃。

哦还有代码

CODE

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long 
#define pa pair<int,int>

#define x first

#define y second

#define pb push_back

#define mp make_pair


using namespace std;

const int N=60,M=410,Q=820001;

int n,m;
int em;
int top[N],a[N][M];
bool impx[M],impy[M];

int T;
pa ans[Q];

void move(int x,int y)
{
	ans[++T]=mp(x,y);
	a[y][++top[y]]=a[x][top[x]--];
}

int merge(int x,int y,int mid)
{
	int cx=0,cy=0;
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		impx[i]=(a[x][i]<=mid),impy[i]=(a[y][i]<=mid),
		cx+=impx[i],cy+=impy[i];
		
	if(cx+cy>m)
	{
		cx=m-cx,cy=m-cy;
		for(int i=1;i<=m;++i)
			impx[i]^=1,impy[i]^=1;
	}	
	
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(!impx[i] && cx+cy<m)
			impx[i]=1,++cx;	
				
	for(int i=cx;i;--i)	move(y,em);
	for(int i=m;i;--i)
		if(impx[i])	move(x,y);
		else move(x,em);
	for(int i=m-cx;i;--i)	move(em,x);
	for(int i=cx;i;--i)	move(y,x);
	for(int i=cx;i;--i)	move(em,y);
	for(int i=cx;i;--i)	move(x,em);
	for(int i=m;i;--i)
		if(impy[i])	move(y,em);
		else 		move(y,x);
		
	int p=em;
	em=y;
	return p;
}

void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)	return;
	
	int mid=l+r>>1;
	vector<int> now;
	
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
	{
		if(i==em)	continue;
		if(l<=a[i][1] && a[i][1]<=r)
			now.pb(i);
	}
	
	for(int i=0;i+1<now.size();++i)
		now[i+1]=merge(now[i],now[i+1],mid);
		
	solve(l,mid),solve(mid+1,r);
}

signed main()
{
	freopen("ball.in", "r", stdin);
    freopen("ball.out", "w", stdout);

//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0);cout.tie(0);
	
	scanf("%d%d",&n,&m);
	em=n+1;
	
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=m;++j)
			scanf("%d",&a[i][j]);
			
	for(int i=1;i<=n;i++)	top[i]=m;
	
	solve(1,n);
	
	printf("%d\n",T);
	for(int i=1;i<=T;++i)
		printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);
		
	return 0;
}

哦，留个问题：为什么这道题关闭了输入输出流的cin,cout会比scanf,printf慢那么多？差点洛谷上过不了~~~（我太鶸了）