P3067 [USACO12OPEN] Balanced Cow Subsets G

我的天，折半搜索（meet in the middle），依稀记得我学过，但是真的不记得。。。。

从状态图上起点和终点同时开始进行宽度/深度优先搜索，如果发现相遇了，那么可以认为是获得了可行解。

这道题，每一个元素会有3种状态，分别是在第一个集合或者第二个集合亦或者不在集合中。如果直接暴力去搜的话，时间复杂度是三次方级别的，不能被接受。
所以考虑折半搜索，就可以直接把复杂度上的指数砍半，就可以过掉这道题了。

折半搜索实现

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define pb push_back

using namespace std;

const int N=25,M=2e6+100;

int n;
int ans[M];
int a[M];
int s,tot;

vector<int> p[M];
map<int,int> b;

void dfs1(int x,int sum,int now)
{
	//对前一半进行搜索，now->对取了的数进行状态压缩
	if(x>n/2)
	{
		if(b[sum]==0)	b[sum]=++tot;//李三华
		p[b[sum]].pb(now);
		return; 
	} 
	dfs1(x+1,sum+a[x],now|(1<<(x-1)));
	dfs1(x+1,sum-a[x],now|(1<<(x-1)));
	dfs1(x+1,sum,now);
	//分三种情况讨论，要么在左，要么在右，要么都不在 
}

void dfs2(int x,int sum,int now)
{
	//对后一半进行搜索
	if(x>n)
	{
		int t=b[sum];
		if(t!=0)
			for(int i=0;i<p[t].size();i++)
				ans[p[t][i]|now]=1;
			//对于每一种可能的组合，将值赋为1，
			//因为题目中要求的方案数为取数的方案数而不是分数的方案数
			//因此不是+1而是=1
		return;
	 } 
	dfs2(x+1,sum+a[x],now|(1<<(x-1)));
	dfs2(x+1,sum-a[x],now|(1<<(x-1)));
	dfs2(x+1,sum,now);
 } 

signed main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
	dfs1(1,0,0),dfs2(n/2+1,0,0);
	for(int i=1;i<=(1<<n);i++)	s+=ans[i];
	cout<<s<<endl;
	return 0;
}
//meet in the middle(折半搜索)

也可以用状态压缩实现大部分折半搜索的题目，这道题也可以用三进制状态压缩去做。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

int n;
int B[2],a[22],pow3[12],ans;
bool st[(1<<20+5)];
map<int,vector<int>> f[2];

signed main()
{
	cin>>n;
	B[0]=n/2,B[1]=n-B[0];
	for(int i=0;i<n;i++)	cin>>a[i];
	pow3[0]=1;
	for(int i=1;i<=B[1];i++)	pow3[i]=pow3[i-1]*3;
	for(int t=0;t<=1;t++)
		for(int s=0;s<pow3[B[t]];s++)
		{
			int d=0,S=(1<<B[0])-1;
			if(t==1)	S=((1<<n)-1)-S;
			for(int i=0;i<B[t];i++)
			{
				int v=(s/pow3[i])%3;
				if(v==1)	d+=a[i+t*B[0]];
				else if(v==2)	d-=a[i+t*B[0]];
				else	S-=(1<<(i+t*B[0]));
			}
			f[t][d].push_back(S);	
		}
	for(auto a:f[0])
		for(int b:a.second)
			for(int c:f[1][-a.first])
				if(!st[c|b])	ans++,st[c|b]=true;
	cout<<ans-1<<endl;
	return 0;
}