题目大意

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给出 $n,m,k$ 和一个长度为 $n$ 的序列 $S$，其中 $S_i\in [1,m]$。

对于一个 $x\to y$ 的代价 $f(x,y)$，有：

你需要求一个长度为 $m$ 排列 $P$,使 $\sum _{i=1}^{n-1}f(P_{S_i},P_{S_i+1})$ 最小。

$n\le {10}^5,m\le 23,k\le 100$

思路

发现 $m$ 很小，所以看起来就很像一些状压动归。但是发现即使是枚举 $P$ 的暴力要求一个总代价也是 $O(n\cdot m!)$ 的，所以希望将它转成一个只关于 $m$ 的形式。

这个时候可以拆贡献，发现对于 $S_i$ 的贡献只与 $S_i+1$ 有关。这个时候我们可以记 $C(x,y)$ 表示 $S$ 中有多少 $(S_i=x,S_{i+1}=y)$。这样我们在算 $P$ 的代价时就可以枚举 $x,y\in [1,m]$，然后加贡献

这样就优化到了 $O(m^{2}m!)$，我们的时间复杂度已与 $n$ 无关。

然后考虑状压动规。如果先考虑 $F_s$ 表示现在 $[1,|s|]$ 的数分别填在了 $s$ 为 $1$ 的位置上，但是无法转移，因为不知道具体是哪些值的话 $C(x,y)$ 就是无法更新的。

但是可以有转移 $F_s$ 表示现在填了前 $|s|$ 个位置，填了 $s$ 中的这些数。发现就可以转移，因为我们只关心大小关系，那么还没有出现的肯定在之后，那么转移时的大小关系就可以确定了。

那么转移一个 $i$ 时考虑到 $j$ 有几种情况：

1. 若 $i\to j$， $j\in s$，$P_j<P_i$，所以有贡献 $C(i,j)\cdot k{P}_i$
2. 若 $i\to j$， $j\notin s$，$P_j>P_i$，所以有贡献 $C(i,j)\cdot (-P_i)$
3. 若 $j\to i$， $j\in s$，$P_j<P_i$，所以有贡献 $C(j,i)\cdot P_i$
4. 若 $j\to i$， $j\notin s$，$P_j>P_i$，所以有贡献 $C(j,i)\cdot k{P}_i$

那么可以转移

其中按照定义 $P_i=|s|+1$。

那么现在的时间复杂度是 $O(2^m{m}^2)$ 的，已经有 $80$ 分了。发现能不能先预处理出 $G(s,i)$。发现 $G(s,i)$ 可以从任何一个大小为 $|s|-1$ 的子集转移过来。那么可以不妨从去掉最低位 $1$（即 lowbit，不妨设位置为 $j$） 的位置 $s^{{}^{\prime }}$ 转移。

现在我们已经做到了时空都是 $O(2^{m}m)$ 了，但是发现空间不够大。但是发现所有的 $G(s,i),i\in s$ 都是没有意义的，所以我们可以只保存 $2^{m-1}$ 个 $G$，虽然实现麻烦但是可以优化到空间 $O(2^{m-1}m)$,时间 $O(2^{m}m)$ 可以通过本题。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define rep(i,a,b) for(register ll i=(a);i<=(b);++i)
using namespace std;
typedef int ll;
const ll MAXN=1e5+5;
const ll MAXM=23;
const ll MAXLM=(1<<23)+2;
ll n,m,k,a[MAXN],cnt[MAXM][MAXM];
namespace Task3{
    ll f[MAXLM],bt1[MAXLM],lg[MAXLM];
    ll v[MAXLM/2][MAXM];
    ll gb(ll x){
        ll ans=0;
        while(x){
            ans+=(x&1);
            x>>=1;
        }
        return ans;
    }
    void Do(){
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        f[0]=0;
        rep(i,0,(1<<(m))){
            bt1[i]=gb(i);
        }
        rep(i,2,(1<<m)){
            lg[i]=lg[i>>1]+1;
        }
        rep(i,0,m-1){
            rep(j,0,m-1){
                if(i!=j){
                    v[0][i]+=k*cnt[j][i]-cnt[i][j];
                }
            }
        }
        rep(i,0,m-1){
            rep(j,1,(1<<(m-1))-1){
                ll lb=(j&(-j)),pc=lg[lb]+(lg[lb]>=i);
                v[j][i]=v[j^lb][i]+cnt[i][pc]*(k+1)+cnt[pc][i]*(1-k);
            }
        }
        rep(S,1,(1<<m)-1){
            rep(i,0,m-1){
                if((S&(1<<i))){
                    ll ns=S^(1<<i);
                    ll val=f[ns]+(bt1[ns]+1)*v[(ns&((1<<i)-1))|((ns>>(i+1))<<i)][i];
                    f[S]=min(f[S],val);
                }
            }
        }
        cout<<f[(1<<m)-1]<<endl;
    }
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m>>k;
	rep(i,1,n){
		cin>>a[i];
        a[i]--;
	}
    rep(i,1,n-1){
        cnt[a[i]][a[i+1]]++;
    }
	Task3::Do();
	return 0;
}