P1979 [NOIP2013 提高组] 华容道
题目大意
\(n\times m\) 的华容道盘，有障碍。多组询问，每组障碍不变。其中要将初始在 \((sx,sy)\) 的棋子移动到 \((tx,ty)\)。初始空白的位置在 \((ex,ey)\)。求至少多少次移动完成目标，无法完成输出 -1。
\(n,m\leq30,q\leq 500\)。
思路
发现显然应该是要预处理什么东西然后对于每组询问再做。然后发现其实这个游戏就是用空格铺路让棋子按照合法的最短距离一步一步走。
手玩一下可以发现先按照最短距离将空格移动到初始位置之后就可以开始移动了。发现如果要移动一个棋子到一个方向就需要在不移动原棋子的情况下移动空格。
之后就可以写一个移动的函数了，用宽搜 \(f(cx,cy,sx,sy,ex,ey)\) 表示空格一开始在 \((sx,sy)\)，在不经过 \((cx,cy)\) 时移动到 \((ex,ey)\) 的最短步数。
但是如果我们预处理出所有的 \(f\) 就可以以它为边权跑最短路就可以了。但是发现预处理的时间复杂度是 \(O(n^8)\) 的，无法接受。
观察到其实每一次的移动除了一开始移动空格到起点四周外只会在四个方向动。于是通过跑 \(f()\) 来算新的 \(v(x,y,a,b)\)，其中 \(a,b\in[0,4)\) 表示四个方向。这样我们可以通过 \(T(16n^4)\) 的方法求助这个棋盘移动任意一个位置的步数。
发现对于每一组询问跑最短路即可。但是对于状态我设置的与普通最短路略有不同，设了 \(d(x,y,a),a\in[0,4)\) 表示目前在 \((x,y)\)，空格在 \((x,y)\) 的 \(a\) 方向时的最短步数即可。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=30+5;
const ll MAXQ=500+5;
ll n,m,Q;
bool gd[MAXN][MAXN];
ll dx[]={0,0,1,-1},dy[]={1,-1,0,0};
bool cg(ll x,ll y){
return x>0&&x<=n&&y>0&&y<=m&&gd[x][y];
}
bool vis[MAXN][MAXN];
struct node{
ll x,y,tm;
};
ll bfs(ll cx,ll cy,ll sx,ll sy,ll ex,ll ey){
queue<node>q;
memset(vis,false,sizeof(vis));
q.push({sx,sy,0});
vis[sx][sy]=true;
if(sx==cx&&sy==cy){
return 1e9;
}
while(!q.empty()){
ll x=q.front().x,y=q.front().y,tm=q.front().tm;
q.pop();
if(x==ex&&y==ey){
return tm;
}
for(int i=0;i<4;++i){
ll u=x+dx[i],v=y+dy[i];
if(cg(u,v)&&!vis[u][v]&&!(u==cx&&v==cy)){
vis[u][v]=true;
q.push({u,v,tm+1});
}
}
}
return 1e9;
}
ll val[MAXN][MAXN][4][4];
struct State{
ll qx,qy,lst,tm;
bool operator<(const State&K)const{
if(tm==K.tm){
if(qx==K.qx){
if(qy==K.qy){
return lst<K.lst;
}
return qy<K.qy;
}
return qx<K.qx;
}
return tm>K.tm;
}
};
bool vs[MAXN][MAXN][4];
ll dis[MAXN][MAXN][4];
void dijkstra(ll ex,ll ey,ll sx,ll sy,ll tx,ll ty){
priority_queue<State>pq;
memset(vs,false,sizeof(vs));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
for(int i=0;i<4;++i){
ll u=sx+dx[i],v=sy+dy[i];
if(!cg(u,v)){
continue;
}
ll w=bfs(sx,sy,ex,ey,u,v);
if(w>=1e8){
continue;
}
pq.push({sx,sy,i,w});
dis[sx][sy][i]=w;
}
while(!pq.empty()){
State sta=pq.top();
pq.pop();
ll x=sta.qx,y=sta.qy,lst=sta.lst;
if(vs[x][y][lst]){
continue;
}
vs[x][y][lst]=true;
for(int i=0;i<4;++i){
ll u=x+dx[i],v=y+dy[i];
ll w=val[x][y][lst][i];
if(w>1e8){
continue;
}
ll nlst;
if(i==0){
nlst=1;
}else if(i==1){
nlst=0;
}else if(i==2){
nlst=3;
}else{
nlst=2;
}
if(dis[x][y][lst]+w+1<dis[u][v][nlst]){
dis[u][v][nlst]=dis[x][y][lst]+w+1;
pq.push({u,v,nlst,dis[u][v][nlst]});
}
}
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);cout.tie(0);
cin>>n>>m>>Q;
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
cin>>gd[i][j];
}
}
memset(val,0x3f,sizeof(val));
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=m;++j){
if(!cg(i,j)){
continue;
}
for(int k=0;k<4;++k){
ll x=i+dx[k],y=j+dy[k];
if(!cg(x,y)){
continue;
}
for(int l=0;l<4;++l){
if(k==l){
val[i][j][k][l]=0;
continue;
}
ll u=i+dx[l],v=j+dy[l];
if(!cg(u,v)){
continue;
}
val[i][j][k][l]=bfs(i,j,x,y,u,v);
}
}
}
}
while(Q--){
ll ex,ey,sx,sy,tx,ty;
cin>>ex>>ey>>sx>>sy>>tx>>ty;
if(sx==tx&&sy==ty){
cout<<0<<endl;
continue;
}
if(!cg(sx,sy)||!cg(tx,ty)){
cout<<-1<<endl;
continue;
}
dijkstra(ex,ey,sx,sy,tx,ty);
ll ans=min({dis[tx][ty][0],dis[tx][ty][1],dis[tx][ty][2],dis[tx][ty][3]});
if(ans>1e8){
cout<<-1<<endl;
}else{
cout<<ans<<endl;
}
};
return 0;
}
