AtCoder Beginner Contest 362 补题

E - Count Arithmetic Subsequences

题目大意

求出在序列 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 中所有长度为 \(k\in[1,n]\) 的非连续等差子序列数量，对 \(998244353\) 取模。

\(1\leq n\leq 80\)

思路

设 \(f_{i,k,v}\) 表示以 \(i\) 结尾长度为 \(k\) 的差为 \(v\) 的子序列数量。则枚举 \(j\) 确定差，则 \(v=a_i-a_j\)。于是可以转移：

\[f_{i,k,v}=\sum_{j=2}^{i-1}f_{j,k-1,a_i-a_j} \]

其中推一下 \(k\leq 2\) 的情况设为边界即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=80+5;
const ll MOD=998244353;
ll n,a[MAXN];
map<ll,ll>dp[MAXN][MAXN];
ll ans[MAXN];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];
        dp[i][1][0]=1;
        for(int j=1;j<i;++j){
            dp[i][2][a[i]-a[j]]++;
        }
        ans[1]++;
        ans[2]+=i-1;
        ans[2]%=MOD;
    }
    for(int k=3;k<=n;++k){
        for(int i=3;i<=n;++i){
            for(int j=i-1;j>=2;--j){
                    dp[i][k][a[i]-a[j]]+=dp[j][k-1][a[i]-a[j]]%MOD;
                    dp[i][k][a[i]-a[j]]%=MOD;
                    ans[k]+=dp[j][k-1][a[i]-a[j]]%MOD;
                    ans[k]%=MOD;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    return 0;
}

F - Perfect Matching on a Tree

题目大意

给出一个节点个数为 \(n\) 的树，将它分成 \(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\) 个点对，使得点对的距离之和最大，输出一组可行的方案。

\(2\leq n \leq2\times10^5\)

思路

直接这么做显然是不好的，可以考虑转成一条边的贡献。设以 \(u\) 为根的字数大小 \(s_u\)。则对于点对和可以转化成

\[\sum_{i=1}^{n-1} \min(s_{u_i},n-s_{u_i}) \]

那么为了让它最大我们希望让每一个子树大小平均，自然选择重心即可。这样的话我们输出方案就可以随便连，只要不在同一颗子树即可。那就按子树顺序放进一个序列 \(a\) 里，然后根如果 \(n\) 为奇就不选，否则放进最初或最后随便匹配一下即可。之后按顺序输出 \((a_i,a_{i+\lfloor\frac{n}{2}\rfloor})\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll MAXN=2e5+5;
vector<ll>adj[MAXN];
ll n;
ll sz[MAXN],core,num;
void dfs(ll u,ll fa){
    sz[u]=1;
    ll val=-1e18;
    for(auto v:adj[u]){
        if(v==fa){
            continue;
        }
        dfs(v,u);
        val=max(val,sz[v]);
        sz[u]+=sz[v];
    }
    val=max(val,n-sz[u]);
    if(val<num){
        num=val;
        core=u;
    }
}
ll a[MAXN],tot;
void ga(ll u,ll fa){
    if(u!=core){
        a[++tot]=u;
    }
    for(auto v:adj[u]){
        if(v==fa){
            continue;
        }
        ga(v,u);
    }
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    cin>>n;
    num=1e18;
    for(int i=1;i<n;++i){
        ll u,v;
        cin>>u>>v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,0);
    if(!(n&1)){
        a[++tot]=core;
    }
    ga(core,0);
    for(int i=1;i<=n/2;++i){
        cout<<a[i]<<" "<<a[i+n/2]<<endl;
    }
    return 0;
}