数论学习之最大公约数与最小公倍数

数论学习之最大公约数与最小公倍数

最大公约数

　　定义：设a,b是两个整数，如果d|a,且d|b,则称d是a和b的公因子，或公约数，除0之外，任和整数只有有限个因子，其中最大的叫做最大公约数。

     记做： gcd( a, b)

最小公倍数

   定义：设a， b 是两个整数，如果a|d,b|d,则称d是a,b的公倍数，a,b的公倍数有无穷个，最小的那个称做最小公倍数。

   记做 ：lcm (a,b);

  显然对于任意的正整数a：

gcd(0,a) = a; gcd(1,a)=1; lcm(1,a) = a;

最小公倍数与最大公约的数两条性质：

1.a|m , b|m,  lcm(a,b) l m;

2.m|a,m|b, m | gcd(a,b);

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求法：

1.因子分解

如求32 与24的最大公约数与最小公倍数

32 = 2 ^5

24  =2 ^3 * 3

gcd(a,b) = 2 ^ 3 = 8;

lcm(a,b) = 2^5 * 3 = 96

2.辗转相除法

它是基于以下定理构造的

设a = qb + r; 其中a,b, q,r都是整数，则gcd(a, b) = gcd ( b,r);

证明：

 只需要证明a,b和b,r具有相同的公因子。

设d|a,d|b, r = a - qb,则d| r  (由整除性质推出 ）

如果  a|b,a|d,则对任意正整数x, y,有a | xb + yd;

所以

gcd (a , b) = gcd( b, r1) = gcd....= rk 

这就是辗转相除法，又叫欧几里德算法。（Euclid)

3.更相减损术

如22 与11的最大公约数

d =22 - 11 = 11

11 - 11 = 0;

其最大公约数为11

4. 扩展欧几里德算法

对于不为0的非负整数a, b,gcd(a,b),必然存在整数对x,y;

使gcd(a,b) = x a + y b;

5.gcd C语言的实现，递归，和非递归

#include <stdio.h>

void swap (int &x, int &y)
{
 
    int temp;
    temp = x;
     x = y;
     y = temp;
}
 
int _gcd( int x, int y)
{    
    if ( x < y )
    swap( x, y);
    int r;
    while ( r != 0 ) {
        r =  x % y;
        x = y;
        y = r;
    }
    return x;
}

 
int gcd( int n,int m )
{
    return m ? gcd( m,n % m ) :n;
}    

int main( )
{
    int N, M;
    while (scanf("%d%d", &N, &M) != EOF ) {
        printf("%d\n",N /_gcd(N, M) * M); 
    }
    return 0;
}