python实现求两个数最大公约数和最小公倍数

最大公约数
方法（一）

最大公约数（最大公因数）就是几个数公有的因数中最大的一个。
例：12与18 12的因数有1，12，2，6，3，4
18的因数有1，18，2，9，6，3
公有的因数有1，2，3，6， 所以6就是12与18的最大公约数.
而求最大公约数的方法可以总结为：

1)更相减损法：更相减损术， 出自于中国古代的《九章算术》，也是一种求最大公约数的算法。

①先判断两个数的大小，如果两数相等，则这个数本身就 是就是它的最大公约数。
②如果不相等，则用大数减去小数，然后用这个较小数与它们相减的结果相比较，如果相等，则这个差就是它们的最大公约数，而如果不相等，则继续执行②操作。

python代码实现如下
def calMaxCommonDivisor(a,b):
    """
    5-15.
    最大公约数和最小公倍数。请计算两个整型的最大公约数和最小公倍数。
    :return:最大公约数和最小公倍数(用更相减损法求最大公约数)
    """
    while(1):
        if(a > b):
            a = a-b
        elif(a < b):
            b = b -a
        else:
            return a

if __name__ == '__main__':

print(calMaxCommonDivisor(10,75))

方法（二）

第二种方法（用辗转相除法求最大公约数）：
辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出两个正整数的最大公约数。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。

这条算法基于一个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公约数，等同于10和5的最大公约数。

2)辗转相除法解法分析： 
①当两个数相等时，其中任意一个就是它们的最大公约数，因为它们的余数为0； 
②当两个数不相等时，用较大数除以较小数，当余数不为0时，这时 
使较小数作为被除数，余数作为除数，继续 ②的操作，直至余数为0,那么大的那个数为最大公约数；这两个数相等时，其中任一数为最大公约数。

def maxCommonDivison(a,b):
    """
    用辗转相除法求最大公约数
    :return:
    """
    while(a*b != 0):
        if(a > b):
            a = a % b
        elif(a < b):
            b = b % a
        else:
            return a
    return max(a,b)

if __name__ == '__main__':
    print(maxCommonDivison(25,100))

方法（三）

第三种方法：使用递归（结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算）

众所周知，移位运算的性能非常快。对于给定的正整数a和b，不难得到如下的结论。其中gcb(a,b)的意思是求a,b的最大公约数的函数

当a和b均为偶数，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)

当a为偶数，b为奇数，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)

当a为奇数，b为偶数，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)

当a和b均为奇数，利用更相减损术运算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此时a-b的结果必然是偶数，又可以继续进行移位运算。

比如计算10和25的最大公约数的步骤如下：

（10，25）———（10>>1,25 ）————-( 5,25）
（5，25 ）———-（5，25-5 ）————（5，20）
（利用更相减损法）
（5，20）———-（5，20>>1 ）———– （5，10）
（5, 10）———-（5，10>>1 ）———– （5，5）
（5，5）———–（5，5-5）———（5，0）——-5为最大公约数

def gcd(a,b):
    """
    使用递归（结合辗转相除法和更相减损法的优势以及移位运算）求最大公约数  性能最好
    :return:
    """
    if (a == b):
        return a
    if (a == 0 | b == 0):
        return a + b
    if (a == 1 | b == 1):
        return 1
    if (a < b):
       gcd(b, a)
    else:
        # 两个数都是偶数
        if((a &1) == 0 and (b &1) == 0 ) :
            return gcd(a >> 1, b >> 1)<<1
        # a为偶数 b为奇数
        elif((a &1) == 0 and (b &1)== 1):
            return gcd(a >>1,b)
        # a为奇数，b为偶数
        elif((a &1) == 1 and (b &1)== 0):
            return gcd(a, b >>1)
        else:
            #两个数都是奇数
            return gcd(b, a-b)

第三种方法python实现有点问题，待解决后更新




最小公倍数：

def leastCommultiple(a,b):
    """
    最小公倍数就是几个数公有的倍数中最小的一个。
    6的倍数有6，12，18，24，……
    4和6 公倍数 12，18……， 所以4和6的最小公倍数是12 。
    如果求a和b的最小公倍数，可以先求出它们的最大公约数，最小公倍数就是 a*b/最大公约数
    :return:
    """
    mcd = maxCommonDivison(a,b)
    lcm = (a*b)/mcd
    return lcm