（原创）机器学习之概率与统计（二）- 多元随机变量及其分布
目录
9.3 KL散度（Kullback-Leibler divergenc，KL divergence）
9.5最大信息系数（maximal information coefficient，MIC）
1.多元正态分布（multivariate normal, MVN）
3.1朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes Classifier, NBC）
一、随机向量及其分布
多元随机向量的分布：在多个随机变量组成的向量上定义的分布。
1．多元向量的联合分布
1.1离散情况
假设D维随机向量(X1, …, XD)，其中Xj为离散型随机变量，则定义联合概率质量函数(pmf)为：
联合概率分布函数(CDF)为：
1.2连续情况
假设D维随机向量(X1, …, XD)，其中Xj为连续型随机变量，则定义联合概率密度函数(pdf)为：
其中：
联合概率分布函数(CDF)为：
对任意集合：
2．多元向量的边缘分布
2.1离散情况
假设D维离散型随机向量(X1, …, XD)有联合质量函数p(X1, …, XD)，则定义Xj的边缘概率质量函数：
2.2连续情况
假设D维连续型随机向量(X1, …, XD)有联合质量函数p(X1, …, XD)，则定义Xj的边缘概率质量函数：
3．多元向量的条件分布
（1） 例如，对二维随机变量(X,Y), 当p(y) ＞ 0时，给定Y=y时X的条件分布为：
即：
（2） 链规则（Chain Rule）
例如有3个随机变量时：
或者：
一般地，
4．贝叶斯规则
（1） 全概率公式
如果Y可以取值y1, …, yK，x为X的一个取值，则：
（2） 贝叶斯规则：
5．多元向量独立
若对向量中X，Y中所有的x, y，有：
或者：
则称X与Y独立，记作：X⊥Y
6．多元向量条件独立
若对向量中X，Y，Z中所有的x, y, z，有：
或者
则称X与Y条件独立(即有条件的独立)，记作：X⊥Y | Z
7．协方差与相关系数
如果随机变量之间不独立，可用协方差/相关系数来刻画两个随机变量之间关系强弱：
性质：
（1）
协方差满足：
相关系数满足：
（2） 如果X，Y独立，则：
（3） 协方差：
对任意两个随机变量X和Y，有：
推广到多个随机变量：
8．方差-协方差矩阵
令随机向量X的形式为：X = (X1, …, XD)T，则方差-协方差矩阵定义为：
当各个成分变量独立时，协方差矩阵是一个对角矩阵。
9．信息论
9.1 机器学习原则
（1）选择最简单的、能表示数据产生规律的模型
（2）模型选择：最小描述长度准则
（3）特征选择：选择与目标最相关的特征
9.2 熵
（1）熵是一种不确定度的度量
（2）定义：
假设随机变量X的分布为p，则该随机变量的熵定义为：
9.3 KL散度（Kullback-Leibler divergenc，KL divergence）
KL散度，又称相对熵（relative entropy）：一种度量两个分布p和q之间的差异的方法：
或者：
其中H(p, q)称为交叉熵：
9.4互信息
互信息：度量联合分布p(X, Y)和因式分解形式p(X)P( Y)之间的相似度:
或者:
其中H(X|Y)或H(Y|X)称为条件熵（表示观测到X后Y的不确定性减少）：
性质：
（1）互信息不小于0：
（2）当且仅当p(X, Y)= p(X)P( Y)，即X 与Y独立时，互信息为0.
（3）在特征选择时，可以通过计算特征与目标之间的互信息，选择与目标互信息最大的那些特征，抛弃与目标关系不大的特征。
9.5最大信息系数（maximal information coefficient，MIC）
（1）连续变量的互信息，需先离散化，再计算互信息。
（2）最大信息系数(MIC)：以最优的方式离散化，并将互信息取值转换成到[0,1]：
其中I(X(G);Y(G))为某种离散方式, 箱子大小B建议为N0.6，N为样本数目。
二、多元正态分布
1. 多元正态分布（multivariate normal, MVN）
多元正太分布的一般形式 ：
其中，
期望：μ=E(x) , 协方差矩阵：Ʃ = E( (x-μ)T(x-μ) )，即可以写成方差-协方差矩阵的形式。
协方差矩阵有D x (D-1)/2个独立元素，是正定矩阵，
协方差矩阵的逆 = 精度
2. 协方差的特征值分解
协方差矩阵的特征值分解：
则Mahalanobis 距离(等于在翻转坐标系中的欧氏距离)：
其中，yi = uiT (x -μ)
3. MVN的白化
假设x随机向量服从多元正态分布：
则令y的分布为：
称y已经被白化了，即已经服从了标准正态分布：N(0，I)
4. 高斯判别分析（GDA）
在产生式分类器中：
使用高斯分布作为类条件分布：
通过分析这个高斯分布来确定最佳的分布的方法，叫高斯判别分析（GDA）。
例如，当协方差矩阵为对角阵时，为朴素贝叶斯分类器（各特征独立）。
5. 决策边界
（1） 当所有都相等时，判别边界为线性，称为线性判别分析（Linear Discriminant Analysis, LDA）
（2） 一般情况下，判别边界为二次曲线
（3） 协方差决定了模型的复杂度（参数的数目）
三、概率图模型
利用随机变量之间的条件独立关系，可以将随机向量的联合分布分解为一些因式的乘积，得到简洁的概率表示。
1．有向图
有向图模型（directed graphical models，DGMs）使用带有有向边的图，用条件概率分布来表示分解：每个随机变量xi都包含着一个影响因子，这些影响因子被称为xi的父节点，记为Pa (xi)，则有向图模型表示概率分解：
2．无向图
无向图模型（undirected graphical model，UGM）：使用带有无向边的图，将联合概率分解成一组函数的乘积。
图中任何满足两两之间有边连接的顶点的集合被称为团（clip），每个团Ci都伴随着一个因子: ɸi（Ci）, 并且这些团必须满足：
（1）每个因子的输出都必须是非负的
（2）但不像概率分布中那样要求因子的和/积分为1
则随机向量的联合概率可以分解为：所有这些因子的乘积：
其中归一化常数Z被定义为函数乘积的所有状态的求和或积分，使得这些乘积的求和为1（即使得p(x)为一个合法的概率分布）。
3．特殊的概率图模型
3.1 朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes Classifier, NBC）
（1）原理：假设各维特征在给定类别标签的情况下是条件独立的。
（2）假设要进行分类，共有C个类别y∈ （1，2，…, C），每个样本有特征x = (x1, …, xD)，则给定类别标签下的条件概率为：
（3）进行分类（预测）：
3.2链规则
给定时间长度为T 的序列X1，…, XT，则链规则：
即第t时刻的状态Xt只与前t-1个时刻的状态X1:t-1相关。
3.3 Markov链
假设第t时刻的状态Xt只与前一个时刻的状态Xt-1相关，称为一阶Markov假设，得到的联合分布为Markov链（或Markov模型）：
3.4转移矩阵
当Xt∈(1,2,…,k)为离散时，则条件分布p(Xt|Xt-1)可表示为一个K x K的矩阵|Aij|，称为转移矩阵，其中：
表示从状态i转移到状态j的概率，也称为叫做随机矩阵。
3.5隐马尔科夫模型（HMM）
如果系统的状态不可见，只能观测到由隐含状态驱动的观测变量，则可用隐马尔可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）表示联合概率：
其中：
其中zt表示第t时刻的隐含状态；
p(Zt|Zt-1)表示转移模型；
p(Xt|Zt)表示观测模型。
3.6 Markov随机场（MRF）
（1）定义
随机场可以看成是一组随机变量的集合（这些随机变量之间可能有依赖关系）；
Markov随机场：加了Markov性质限制的随机场，可用无向图表示。
（2）MRF的参数化
1）
无向图中节点之间的边没有方向，不能用链规则表示联合概率，而是用图中每个最大团C 的因子的乘积表示：
其中Z为归一化常数。
2）
或者，使用能量函数表示为：
3）
或者，将log势能函数表示为一些函数的线性组合：
其中，组合权重为Ɵ，ɸc为根据变量yc得到的特征。
则log联合分布表示为：
称为最大熵模型或log线性模型，在条件随机场（CRF）、（受限）Boltzmann机（RBM）可用此形
式表示联合概率。
3.7 条件随机场（CRF）
条件随机场(Conditional Random Field，CRF)：
给定MRF中的每个随机变量下面还有观测值，则给定观测条件下MRF的分布：
其中，x为观测集合。
- tany 2017年10月7日于杭州
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