数模笔记:微分方程与差分方程

微分方程与差分方程

一、概述

年份	题目	相关方法或理论
1996 年	A: 最优捕鱼策略问题	微分方程的问题
	B: 节水洗衣机的程序设计问题	偏微分方程，也可以用优化
2003 年	A: SARS 的传播问题	预测类问题，可用差分方程、微分方程
	D: 抢渡长江问题	微分方程、优化问题
2004 年	C: 酒后开车问题	微分方程
2008 年	A: 数码相机定位（机理分析）	模糊数学、微分方程
	B: 高等教育学费标准探讨问题	模糊数学、微分方程
2009 年	A: 制动器试验台的控制方法问题	微分方程、优化（求解物理应用题）
2014 年	A: 缆坡三号软着陆轨道设计与控制策略	常微分方程目标规划、优化模型
	B: 创意平板折叠桌	力学方程、物理模型、多目标规划
2015 年	太阳影子定位（机理分析）	偏微分方程
2018 年	A: 高温作业专用服装设计	偏微分方程、单目标规划、双目标规划
2019 年	A: 高压油管的压力控制	数据预处理、常微分方程、单目标规划
	B: “同心协力”策略研究	二维碰撞、二维碰撞（常微分方程）、多目标规划
2020 年	A: 沪温曲线	热传导、有限差分法、遍历法
2022 年	A: 波浪能最大输出功率设计	微分方程、模拟仿真、最优解
2023 年	A: 优化设计启目镜场以及发电问题	微分方程、优化问题

微分方程模型介绍

模型介绍

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。解决相应问题可以按以下几步：

1. 根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系。
2. 找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等）。
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
4. 求解、分析结果。

列方程常见的方法

1. 微元分析法与任意区域上取积分的方法

   通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。

2. 按规律直接列方程

   在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程。

3. 模拟近似法

   在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚且相当复杂，因此需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。

例题

一个较热的物体置于室温为 18°C 的房间内，该物体最初的温度是 60°C，3 分钟以后降到 50°C。想知道它的温度降到 30°C 需要多少时间？10 分钟以后它的温度是多少？

牛顿冷却（加热）定律：将温度为 $T$ 的物体放入处于常温 $m$ 的介质中时，$T$ 的变化速率正比于 $T$ 与周围介质的温度差。

牛顿冷却定律描述了物体温度随时间变化的过程。根据牛顿冷却定律，温度 $T(t)$ 随时间 $t$ 的变化满足以下微分方程：

$$\frac{dT}{dt}=-k(T-m)$$

其中：

• $T(t)$ 是物体在时间 $t$ 时的温度。
• $m$ 是环境温度。
• $k$ 是冷却常数，取决于物体和环境的性质。

我们可以通过积分这个方程得到 $ T(t) $ 的表达式：

$$T(t)=m+(T_0-m)e^{-kt}$$

其中：

• $T_0$ 是物体的初始温度。

我们根据给定条件来求解这个问题。具体步骤如下：

1. 根据初始条件求解冷却常数 $k$。
2. 使用 $k$ 求解物体温度降到 30°C 所需的时间。
3. 计算 10 分钟后物体的温度。
   

import numpy as np
 
# 已知条件
T0 = 60  # 初始温度
T1 = 50  # 3分钟后的温度
T_room = 18  # 环境温度
time1 = 3  # 时间为3分钟
 
# 求解冷却常数k
k = -np.log((T1 - T_room) / (T0 - T_room)) / time1
 
# 求解降到30度所需的时间
T_target = 30
time_to_target = -np.log((T_target - T_room) / (T0 - T_room)) / k
 
# 计算10分钟后的温度
time2 = 10
T_after_10_minutes = T_room + (T0 - T_room) * np.exp(-k * time2)
 
# 输出结果
print(f"物体温度降到30°C所需的时间为: {time_to_target:.2f} 分钟")
print(f"10分钟后物体的温度为: {T_after_10_minutes:.2f} °C")

二、传染病模型

背景与问题

• 描述传染病的传播过程。
• 分析受感染人数的变化规律。
• 预报传染病高潮到来的时刻。
• 预防传染病蔓延的手段。

基本方法:按照传播过程的一般规律建立数学模型

模型 1：I 模型

已感染人数（病人）记为$i(t)$

假设：每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为 $\lambda$。

建模：

求解采用的是分离变量法

$$i(t+\Delta t)-i(t)=i(t)\lambda \Delta t$$

$$\frac{di}{dt}=\lambda i$$

$$i(0)=i_0$$

求解、分析、检验：

$$\frac{di}{dt}=\lambda i$$

$$i(0)=i_0$$

$$i(t)=i_0{e}^{\lambda t}$$

$$t\to \infty \Rightarrow i(t)\to \infty$$

显然这个模型的结果是不合理的,感染人数不可能超过总人数。
若有效接触的是病人，则不能使病人数增加。
必须区分已感染者和未感染者以及总人数。

代码

%创建一个.m文件并命名为i_model.m
% I Model
function [t, i] = i_model(i0, lambda, tmax)
    [t, i] = ode45(@(t, i) lambda * i, [0 tmax], i0);
end

注意:要创建两个文件,上面的代码创建的是 matlab 的函数文件

% 设置参数
i0 = 1;  % 初始感染人数
lambda = 0.5;  % 每天有效接触人数
tmax = 20;  % 模拟时间
 
% 求解模型
[t, i] = i_model(i0, lambda, tmax);
 
% 绘图
figure;
plot(t, i);
title('I Model');
xlabel('Time');
ylabel('Infected Population');

模型 2：SI 模型

区分已感染者和未感染者

假设：

1. 总人数 $N$ 不变，病人和健康人的比例分别为 $i(t),s(t)$。

注意这里$i(t)$表示的是比例和上一个模型表示人数是不一样的

1. 每个病人每天有效接触人数为 $\lambda$，且使接触的健康人致病。

建模：

$$N[i(t+\Delta t)-i(t)]=Ni(t)\lambda \Delta ts(t)$$

$$\frac{di}{dt}=\lambda si$$

$$s(t)+i(t)=1$$

求解、分析、检验：

$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{dt}=\lambda i(1-i)\\ i(0)=i_0\end{array}$$

$$\int \frac{di}{i(1-i)}=\int \lambda dt$$

$$i(t)=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{i_0}-1\right)e^{-\lambda t}}$$

$t=t_m$ 时, $\frac{di}{dt}$ 最大

$t_m\sim$ 传染病高峰到来的时刻

$$t_m={\lambda }^{-1}\ln \left(\frac{1}{i_0}-1\right)$$

$$\lambda \downarrow \to t_m\uparrow$$

$$t\to \infty \Rightarrow i\to 1$$

代码

%创建一个.m文件并命名为si_model.m
% SI Model
function [t, y] = si_model(i0, lambda, tmax)
    [t, y] = ode45(@(t, y) [lambda * y(1) * (1 - y(1))], [0 tmax], i0);
end

注意:要创建两个文件,上面的代码创建的是 matlab 的函数文件

% 设置参数
i0 = 0.1; % 初始感染比例
lambda = 0.5; % 每天有效接触人数
tmax = 50; % 模拟时间
 
% 求解模型
[t, i] = si_model(i0, lambda, tmax);
 
% 找到 infected 和 susceptible 比例为 0.5 的时间点
infected_half = interp1(i, t, 0.5);
susceptible_half = interp1(1-i, t, 0.5);
 
% 绘图
figure;
plot(t, i, 'b', 'LineWidth', 2);
hold on;
plot(t, 1-i, 'r', 'LineWidth', 2);
 
% 标记 infected 和 susceptible 比例为 0.5 的点
plot(infected_half, 0.5, 'bo', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'b');
plot(susceptible_half, 0.5, 'ro', 'MarkerSize', 10, 'MarkerFaceColor', 'r');
 
% 添加标记点的文本说明
text(infected_half, 0.55, ['t_mi = ', num2str(infected_half, '%.2f')], 'Color', 'b', 'HorizontalAlignment', 'right');
text(susceptible_half, 0.55, ['t_ms = ', num2str(susceptible_half, '%.2f')], 'Color', 'r', 'HorizontalAlignment', 'left');
 
title('SI Model');
xlabel('Time');
ylabel('Population Ratio');
legend('Infected', 'Susceptible', 'Location', 'north');
 
% 添加水平线以突出 0.5 比例
yline(0.5, '--k', 'LineWidth', 1);
 
% 计算传染病高峰时刻
tm = 1/lambda * log((1/i0) - 1);
disp(['Peak time: ', num2str(tm)]);
 
% 设置坐标轴范围，确保标记点可见
ylim([0 1.1]);

模型 3：SIS 模型

考虑病人自愈且可再次被感染

传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染。

增加假设：

病人每天治愈的比例为 $\mu$

$\lambda \sim$ 日接触率

$\mu \sim$ 日治愈率

$$\sigma =\lambda /\mu$$

建模：

$$N[i(t+\Delta t)-i(t)]=Ni(t)\lambda \Delta ts(t)-Ni(t)\mu \Delta t$$

$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{dt}=\lambda i(1-i)-\mu i=-\lambda i\left[i-\left(1-\frac{1}{\sigma }\right)\right]\\ i(0)=i_0\end{array}$$

求解分析检验:

$$\frac{di}{dt}=-\lambda i\left[i-\left(1-\frac{1}{\sigma }\right)\right]$$

代码

%创建一个.m文件并命名为sis_model.m
% SIS Model
function [t, y] = sis_model(i0, lambda, mu, tmax)
    [t, y] = ode45(@(t, y) [lambda * y(1) * (1 - y(1)) - mu * y(1)], [0 tmax], i0);
end

注意:要创建两个文件,上面的代码创建的是 matlab 的函数文件

% 设置参数
i0 = 0.01;  % 初始感染比例
lambda = 0.5;  % 每天有效接触人数
mu = 0.1;  % 每天治愈比例
tmax = 100;  % 模拟时间
 
% 求解模型
[t, i] = sis_model(i0, lambda, mu, tmax);
 
% 绘图
figure;
plot(t, i);
hold on;
plot(t, 1-i);
title('SIS Model');
xlabel('Time');
ylabel('Population Ratio');
legend('Infected', 'Susceptible');
 
% 计算平衡点
equilibrium = 1 - mu/lambda;
disp(['Equilibrium point: ', num2str(equilibrium)]);
 
% 情况1: σ > 1
lambda1 = 0.5;
mu1 = 0.2;
[t1, i1] = sis_model(i0, lambda1, mu1, tmax);
 
% 情况2: σ ≤ 1
lambda2 = 0.2;
mu2 = 0.5;
[t2, i2] = sis_model(i0, lambda2, mu2, tmax);
 
% 绘图
figure;
subplot(1,2,1);
plot(t1, i1);
title('SIS Model: σ > 1');
xlabel('Time');
ylabel('Infected Ratio');
yline(1 - mu1/lambda1, '--r', 'Equilibrium');
 
subplot(1,2,2);
plot(t2, i2);
title('SIS Model: σ ≤ 1');
xlabel('Time');
ylabel('Infected Ratio');
 
% 显示R₀值
disp(['R₀ (Case 1): ', num2str(lambda1/mu1)]);
disp(['R₀ (Case 2): ', num2str(lambda2/mu2)]);

模型 4：SIR 模型

传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称为移出者。

假设：

1. 总人数 $N$ 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为 $i(t),s(t),r(t)$。
2. 病人的日接触率 $\lambda$, 日治愈率 $\mu$, 接触数 $\sigma =\lambda /\mu$

建模：

$$s(t)+i(t)+r(t)=1$$

需要建立 $i(t),s(t),r(t)$ 的两个方程。

$$N[r(t+\Delta t)-r(t)]=Ni(t)\mu \Delta t$$

$$N[i(t+\Delta t)-i(t)]=Ni(t)\lambda \Delta ts(t)-Ni(t)\mu \Delta t$$

$$N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t$$

$$i_0+s_0\approx 1(通常r(0)=r_0很小)$$

求解分析检验:

$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i\\ \frac{ds}{dt}=-\lambda si\\ i(0)=i_0,s(0)=s_0\\ i_0+s_0\approx 1(通常r(0)=r_0很小)\end{array}$$

由于无法求出 $i(t),s(t)$ 的解析解。
我们考虑其他办法:

1. 数值计算
2. 定性分析
   相平面上研究解析性质。

SIR 模型的数值解

设 $\lambda =1$, $\mu =0.3$, $i_0=0.02$, $s_0=0.98$, 用 MATLAB 计算作图 $i(t)$,$s(t)$及 $i(s)$

$$\frac{di}{ds}=\frac{\lambda si-\mu i}{-\lambda si}$$

模型的相轨线分析

对于前面求解分析检验的方程组

消去 $dt$, $\sigma =\lambda /\mu$

$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{ds}=\frac{1}{\sigma s}-1\\ i{|}_{s=s_0}=i_0\end{array}$$

相轨线:
$$i(s)=(s_0+i_0)-s+\frac{1}{\sigma }\ln \frac{s}{s_0}$$

相轨线 $i(s)$ 的定义域：

$$D=\{(s,i)|s\ge 0,i\ge 0,s+i\le 1\}$$

$s(t)$ 单调递减 $\to$ 相轨线的方向

预防传染病蔓延的手段

传染病不蔓延的条件—— $s_0<1/\sigma$

• 提高阈值 $1/\sigma$

  • 降低 $\sigma$
  • $\lambda$ (日接触率) $\downarrow \to$ 卫生水平 $\uparrow$
  • $\mu$ (日治愈率) $\uparrow \to$ 医疗水平 $\uparrow$

• 降低 $s_0$

  • 提高 $r_0$$\to$群体免疫

$$s_0+i_0+r_0=1$$

代码

%创建一个.m文件并命名为i_model.m
% SIR Model
function [t, y] = sir_model(i0, s0, lambda, mu, tmax)
    [t, y] = ode45(@(t, y) [
        lambda * y(1) * y(2) - mu * y(1)  % di/dt
        -lambda * y(1) * y(2)  % ds/dt
        mu * y(1)  % dr/dt
    ], [0 tmax], [i0; s0; 1-i0-s0]);
end

注意:要创建两个文件,上面的代码创建的是 matlab 的函数文件

% 设置参数
i0 = 0.01;  % 初始感染比例
s0 = 0.99;  % 初始易感比例
lambda = 0.5;  % 每天有效接触人数
mu = 0.1;  % 每天治愈比例
tmax = 100;  % 模拟时间
 
% 求解模型
[t, y] = sir_model(i0, s0, lambda, mu, tmax);
 
% 绘图
figure;
plot(t, y);
title('SIR Model');
xlabel('Time');
ylabel('Population Ratio');
legend('Infected', 'Susceptible', 'Removed');
 
% 相平面图
figure;
plot(y(:,2), y(:,1));
title('SIR Model Phase Plane');
xlabel('Susceptible');
ylabel('Infected');
 
% 计算R0
R0 = lambda / mu;
disp(['R0: ', num2str(R0)]);

三、香烟过滤嘴的作用模型

问题

• 过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系？
• 人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中什么因素影响大，什么因素影响小？

模型分析

• 分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。

模型假设

1. $l_1\sim$ 烟草长, $l_2\sim$ 过滤嘴长, $l=l_1+l_2$, 毒物总量 $M$ 均匀分布，密度 $w_0=M/l$。
2. 点燃处毒物进入空气和沿香烟穿行的数量比是 $a:a^{\prime }$, $a^{\prime }+a=1$。
3. 未点燃的烟草和过滤嘴对穿行的毒物的单位时间吸收速率分别是 $b$ 和 $\beta$。
4. 烟雾沿香烟穿行速度是常数 $v$, 香烟燃烧速度是常数 $u$, $v\gg u$。

模型建立

$t=0,x=0$, 点燃香烟

$q(x,t)\sim$ 毒物在 $x$ 处的流速（单位时间的流量）

$w(x,t)\sim$ 毒物密度

$$w(x,0)=w_0$$

$$Q={\int }_0^{T}q(l,t)dt,T=l_1/u$$

1. 求 $q(x,t)$

流量守恒：

$$\{\begin{array}{ll}q(x,t)-q(x+\Delta x,t)=\frac{q(x,t)b\Delta x}{v},& ut\le x\le l_1\\ q(x,t)-q(x+\Delta x,t)=\frac{q(x,t)\beta \Delta x}{v},& l_1\le x\le l\end{array}$$

$$\frac{dq(x,t)}{dx}=\{\begin{array}{ll}-\frac{b}{v}q(x,t),& ut\le x\le l_1\\ -\frac{\beta }{v}q(x,t),& l_1\le x\le l\end{array}$$

定解条件：$q(ut,t)=auw(ut,t)$

1. 求 $w(ut,t)$ 考察 $\Delta t$ 内毒物密度的增量

$$w(x,t+\Delta t)-w(x,t)=\frac{q(x,t)\Delta tb\Delta t}{v\Delta t}$$

其中：$q(x,t)=auw(ut,t)e^{-\frac{b(x-ut)}{v}}$

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial w(ut,t)}{\partial t}=\frac{b}{v}auw(ut,t)e^{-\frac{b(x-ut)}{v}}\\ w(x,0)=w_0\end{array}$$

$$w(ut,t)=\frac{w_0}{a^{\prime }}\left(1-a{e}^{-\frac{a^{\prime }but}{v}}\right),a^{\prime }=1-a$$

1. 计算 $Q$~吸一支烟毒物进入人体总量

$$w(ut,t)=\frac{w_0}{a^{\prime }}\left(1-a{e}^{-\frac{a^{\prime }but}{v}}\right)$$

$$q(l,t)=auw(ut,t)e^{-\frac{b{l}_1-wt}{v}}{e}^{-\frac{\beta l_2}{v}}$$

$$Q={\int }_0^{l_1/u}q(l,t)dt=\frac{au{w}_0}{a^{\prime }b}{e}^{-\frac{\beta l_2}{v}}\left(1-e^{-\frac{a^{\prime }b{l}_1}{v}}\right)$$

$$Q=aM{e}^{-\frac{\beta l_2}{v}}\phi (r),r=\frac{a^{\prime }b{l}_1}{v},\phi (r)=\frac{1-e^{-r}}{r}$$

结果分析

1. $Q$ 与 $a,M$ 成正比。($aM$ 是毒物集中在 $x=l_1$ 处的吸入量)
2. $e^{-\frac{\beta l_2}{v}}\sim$ 过滤嘴因素, $\beta ,l_2\sim$ 负指数作用
3. $\phi (r)\sim$ 烟草的吸收作用 （烟草为什么有作用？）

$$r=\frac{a^{\prime }b{l}_1}{v}\ll 1$$

$$\phi (r)=1-\frac{r}{2}$$

$$Q=aM{e}^{-\frac{\beta l_2}{v}}\left(1-\frac{a^{\prime }b{l}_1}{2v}\right),b,l_1\sim \text{线性作用}$$

1. 与另一支不带过滤嘴的香烟比较，$w_0,b,a,v,l$ 均相同，吸至 $x=l_1$ 抛掉。

带过滤嘴:

$$Q_1=\frac{a{w}_{0}v}{a^{\prime }b}{e}^{-\frac{\beta l_2}{v}}\left(1-e^{-\frac{a^{\prime }b{l}_1}{v}}\right)$$

不带过滤嘴:

$$Q_2=\frac{a{w}_{0}v}{a^{\prime }b}\left(1-e^{-\frac{a^{\prime }b{l}_1}{v}}\right)$$

$$\frac{Q_1}{Q_2}=e^{-\frac{(\beta -b)l_2}{v}}$$

$$\beta >b\Rightarrow Q_1<Q_2$$

提高 $\beta b$ 与加长 $l_2$，效果相同。

总结

• 引入两个基本函数：流量 $q(x,t)$ 和密度 $w(x,t)$，运用物理学的守恒定律通过微元方法建立微分方程，构造动态模型。
• 对求解结果进行定性和定量分析，得到合理的实际结论。

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 参数设置
M = 1.0  # 毒物总量 (任意单位)
a = 0.5  # 毒物进入空气和穿行的比例 (a = 0.5, a' = 0.5)
b = 0.1  # 烟草的吸收系数
beta = 0.8  # 过滤嘴的吸收系数, 增大以突出非线性效果
v = 1.0  # 烟雾穿行速度
l1 = 1.0  # 烟草长度
l2_values = np.linspace(0, 10, 100)  # 过滤嘴长度的变化范围, 增大以观察非线性效果
 
# 计算 Q1 和 Q2
def calculate_Q(l1, l2, a, M, b, beta, v):
    a_prime = 1 - a
    r = a_prime * b * l1 / v
    Q1 = (a * M * v / (a_prime * b)) * np.exp(-beta * l2 / v) * (1 - np.exp(-r))
    Q2 = (a * M * v / (a_prime * b)) * (1 - np.exp(-r))
    return Q1, Q2
 
Q1_values = []
Q2_values = []
for l2 in l2_values:
    Q1, Q2 = calculate_Q(l1, l2, a, M, b, beta, v)
    Q1_values.append(Q1)
    Q2_values.append(Q2)
 
# 比较有过滤嘴和无过滤嘴的毒物量
Q1_values = np.array(Q1_values)
Q2_values = np.array(Q2_values)
Q_ratio = Q1_values / Q2_values
 
# 绘图
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(l2_values, Q1_values, label='Q1 (With Filter)')
plt.plot(l2_values, Q2_values, label='Q2 (Without Filter)')
plt.plot(l2_values, Q_ratio, label='Q1/Q2 Ratio', linestyle='--')
plt.xlabel('Filter Length l2')
plt.ylabel('Toxin Amount Q')
plt.title('Effect of Filter Length and Material on Toxin Inhalation')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

四、烟雾的扩散与消失模型

现象和问题

• 炮弹在空中爆炸，烟雾向四周扩散，形成圆形不透光区域。
• 不透光区域不断扩大，然后区域边界逐渐明亮，区域缩小，最后烟雾消失。
• 建立模型描述烟雾扩散和消失过程，分析消失时间与各因素的关系。

问题分析

• 无穷空间由瞬时点源导致的扩散过程，用二阶偏微分方程描述烟雾浓度的变化。
• 观察到的烟雾消失与烟雾对光线的吸收，以及仪器对明暗的灵敏度有关。

模型假设

1. 扩散服从扩散定律。
2. 光线穿过烟雾时光强的相对减少与与烟雾浓度成正比；无烟雾的大小不影响光强。
3. 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。

模型建立

扩散定律：单位时间通过单位法向面积的流量 $q$ 与浓度 $C$ 的梯度成正比。

$$q=-k\cdot \nabla C$$

烟雾浓度 $C(x,y,z,t)$ 的变化规律

$[t,t+\Delta t]$ 通过$\Omega$流出量$Q_1={\int }_t^{t+\Delta t}{\iint }_{S}q\cdot nd\sigma dt$

$\Omega$ 内烟雾改变量 $Q_2={\iiint }_v[C(x,y,z,t+\Delta t)-C(x,y,z,t)]dV$

高斯公式:

$${\iint }_{S}q\cdot nd\sigma ={\iiint }_V\text{div }qdV=-k{\iiint }_V\text{div }(\nabla C)dV$$

$$Q_2=-Q_1$$

$$\frac{\partial C}{\partial t}=k[\text{div}(\nabla C)]=k\left(\frac{{\partial }^{2}C}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}C}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}C}{\partial z^2}\right),-\infty <x,y,z<\infty ,t>0$$

初始条件

$$C(x,y,z,0)=Q\delta (x,y,z)$$

• $Q\sim$ 炮弹释放的烟雾总量
• $\delta \sim$ 单位强度的点源函数

求解方程:

$$C(x,y,z,t)=\frac{Q}{(4\pi kt{)}^{3/2}}{e}^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{4kt}}$$

光强穿过烟雾时的变化规律

• $I(l)\sim$ 沿 $l$ 方向的光强
• $C(l)\sim$ 沿 $l$ 方向的烟雾浓度

假设光强的相对减少与烟雾浓度成正比。

$$\frac{dI(l)}{dl}=-\alpha C(l)I(l)$$

记未进入烟雾($l\le l_0$)时光强为 $I(l_0)=I_0$:

$$I(l)=I_0{e}^{-\alpha {\int }_{l_0}^{l}C(s)ds}$$

仪器灵敏度与烟雾明暗界限

• 烟雾浓度连续变化
• 烟雾中光强连续变化。
• 穿过烟雾进入仪器的光线只有明暗之分，明暗界限由仪器灵敏度决定。

$\mu \sim$ 仪器灵敏度，当 $I/I_0<1-\mu$，观测结果为暗。

设光源在 $z=-\infty$，仪器在 $z=\infty$，则观测到的明暗界限为:

$e^{-\alpha {\int }_{-\infty }^{\infty }C(x,y,z,t)dz}=1-\mu$$\sim$ 不透光区域边界

求解方程

$$C(x,y,z,t)=\frac{Q}{(4\pi kt{)}^{3/2}}{e}^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{4kt}}$$

$$\Rightarrow {\int }_{-\infty }^{\infty }C(x,y,z,t)dz=\frac{1}{\alpha }\ln \frac{1}{1-\mu }\approx \frac{\mu }{\alpha }(\mu \text{ 很小})$$

而${\int }_{-\infty }^{\infty }C(x,y,z,t)dz=\frac{Q}{4\pi kt}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{4kt}}$

$$\frac{Q}{4\pi kt}{e}^{-\frac{x^2+y^2}{4kt}}=\frac{\mu }{\alpha }$$

不透光区域边界半径:

$$r(t)=\sqrt{4kt\ln \frac{\alpha Q}{4\pi k\mu t}}$$

结果分析

$$r(t)=\sqrt{4kt\ln \frac{\alpha Q}{4\pi k\mu t}}$$

$$t=t_1=\frac{\alpha Q}{4\pi k\mu e},r=r_m=\sqrt{\frac{Q}{\pi \mu e}}(\text{最大值})$$

$$t=t_2=\frac{\alpha Q}{4\pi k\mu },r=0$$

$$\alpha \uparrow ,Q\uparrow ,\mu \downarrow \Rightarrow t_1\uparrow ,r_m\uparrow$$

$$k\downarrow \Rightarrow t_1\uparrow$$

参数	数值
最大不透光区域边界半径 $r_{max}$	3.4220
边界达到最大值的时间$t_1$	2.9275
烟雾完全消失的时间 $t_2$	7.9577

观测到不透光区域边界达到最大的时刻 $t_1$, 可以预报烟雾消失的时刻 $t_2$

1. 蓝色曲线$r(t)=\sqrt{4kt\ln \left(\frac{\alpha Q}{4\pi k\mu t}\right)}$:
   • 该曲线表示不透光区域的边界半径 $r(t)$随时间 $ t$ 的变化。
   • 在爆炸初始时刻，烟雾边界迅速扩散，边界半径增大。
   • 随着时间的推移，边界半径达到一个最大值，然后开始减小，直到最后烟雾完全消失。
2. 红色虚线(垂直线)$t_1=\frac{\alpha Q}{4\pi k\mu e}$:
   • 这条红色虚线表示边界半径达到最大值的时间$t_1$。
   • 从图中可以看到，边界半径在此时刻 $t_1$达到了峰值。
3. 绿色虚线(水平线)$r_m=\sqrt{\frac{Q}{\pi \mu e}}$:
   • 这条绿色虚线表示不透光区域边界的最大半径 $ r_m$。
   • 该半径在 $t_1$ 时刻达到，这是烟雾扩散过程中的最大范围。
4. 蓝色虚线(垂直线)$t_2=\frac{\alpha Q}{4\pi k\mu }$:
   • 这条蓝色虚线表示烟雾完全消失的时间 $t_2 $。
   • 此时，边界半径 $r(t)$已经缩小至零，意味着烟雾已经完全消散。

代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 定义常数(这些常数可以根据特定情况进行设置)
k = 1.0  # 扩散系数
alpha = 1.0  # 参数alpha
Q = 1.0  # 炮弹释放的烟雾总量
mu = 0.01  # 仪器灵敏度
pi = np.pi
 
# 定义不透光区域边界半径 r(t)
def r(t):
    return np.sqrt(4 * k * t * np.log(alpha * Q / (4 * pi * k * mu * t)))
 
# 计算最大边界半径和相关时间点
t1 = alpha * Q / (4 * pi * k * mu * np.e)
r_max = np.sqrt(Q / (pi * mu * np.e))
t2 = alpha * Q / (4 * pi * k * mu)
 
# 时间范围
t = np.linspace(0.1, t2 * 1.5, 500)  # 从小于 t2 的时间开始
 
# 绘制不透光区域边界随时间的变化
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(t, r(t), label=r'$r(t) = \sqrt{4 kt **\l**n **\f**rac{**\a**lpha Q}{4 **\p**i k **\m**u t}}$')
plt.axvline(t1, color='r', linestyle='--', label=r'$t_1 = **\f**rac{**\a**lpha Q}{4 **\p**i k **\m**u e}$')
plt.axhline(r_max, color='g', linestyle='--', label=r'$r_m = \sqrt{**\f**rac{Q}{**\p**i **\m**u e}}$')
plt.axvline(t2, color='b', linestyle='--', label=r'$t_2 = **\f**rac{**\a**lpha Q}{4 **\p**i k **\m**u}$')
plt.xlabel('Time t')
plt.ylabel('Boundary Radius r(t)')
plt.title('Smoke Diffusion and Dissipation Model')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
 
# 输出最大边界半径和相关时间点
print(f"最大不透光区域边界半径 r_max = {r_max:.4f}")
print(f"边界达到最大值的时间 t1 = {t1:.4f}")
print(f"烟雾完全消失的时间 t2 = {t2:.4f}")