slam里面用它来求解一个最小二乘问题:
这里的T是变换矩阵,也就是所谓的位姿,qi.pi分别是特征匹配后对应的点,每个点分别是一个三维向量,它们是已知的。所以这是一个关于T的函数。我们是想找到这样的T,来使u这个函数最小。
首先(1)T有六个自由度,分别是nx,ny ,theta,tx,ty,tz.所以希望有一个六维空间来表示它。
(2)其次T对乘法封闭,及两个变换矩阵相乘,还是变换矩阵,而对加法不封闭,即,两个矩阵相加就不是变换矩阵了。
1.群
群,就是一个集合,加一个运算,满足几个性质。这几个性质为封闭性,结合性,有幺元,可逆。谐音“凤姐咬你”。G=(V,.)
我们关注的群:
SO(3)
也成特殊正交群,正交是因为它的逆矩阵就是它的转置,特殊是因为它的行列式为1,简单来说就是旋转矩阵构成的群
SE(3)
也就是变换矩阵构成的群
李群是群的一种,它的特殊之处就是它在实数空间上连续。这里的SO(3),SE(3)都是李群。
2.SO(3)
弄错了,这里的反对称矩真指的是
,因为它是反对称矩阵,它的对角线元素全为0,只有三个自由度,用三个变量就可以描述了,所以用一个三维向量来表示它。还定义了一个运算符![](https://note.youdao.com/yws/res/3944/1156DDD15EEA47A2A68C7B62ED9F570F)
这里的R(t)就是R(t).
所以我们要想求旋转矩阵的话,需要知道R初值,如何求fai,exp()的表达式又是什么呢?
3.李代数so(3),se(3)
李代数其实就是由上面说的fai构成的,所以他说李代数定义在李群的正切空间上也是对的。
李代数此李群多了一个数域R。李代数里面的运算称为李括号。它满足以下四个性质:
其实自反性很好理解,就是它自己就是它的相反数,在一起运算就为0.但雅克比等价不太好理解。
3.1 so(3)
运算为![](https://note.youdao.com/yws/res/4038/68DD19723EC04591AD66E8BF2C99530A)
我觉得这里面写错了,里面应该是大fai1,大fai2.
它满足之前的那些性质。![](https://note.youdao.com/yws/res/4043/fa9a91e3081e60e522a5d5534371162b)
可以说so(3)是由小fai构成的。李代数so(3),李群,SO(3)
小fai有一些性质,在指数映射里用的到,
3.2指数映射
指数映射可以进行泰勒展开,用泰勒展开的性质可以求出exp()的表达形式
由于ϕ是三维向量,我们可以定义它的模长和它的方向,分别记作θ和a
指数映射就是所谓的罗德里格斯公式。有了指数映射格式,就可把李代数so(3)里面的3维向量fai映射成李群SO(3)里的旋转矩阵R。
指数映射是一个满射,就是说,每个旋转矩阵R都有对应的fai,而几个fai可能对应一个旋转矩阵R
3.3 se(3)
T有六个自由度,所以对应的se(3)应该是一个六维向量。
原来的运算符倒<也不再是一个反对称关系。