Dijkstra & heap优化
1.Dijkstra算法简介
\(Dijkstra\)算法是目前OI中关于最短路问题的最实用方法。除了负权回路，\(Dijkstra\)算法对于所有的题目来说都是适用的。普通的\(Dijkstra\)算法复杂度与\(Bellman\)-\(Ford\)相当，优化后的\(Dijkstra\)算法可以媲美SPFA的速度，甚至比\(SPFA\)更快。由于目前的\(OI\)竞赛喜欢卡\(SPFA\)（即\(SPFA\)已死），所以\(SPFA\)的实用性远远不如\(Dijkstra\)（
更何况\(Dijkstra\)还是@Edmundino这位大佬最喜欢的算法）
2.普通的Dijkstra
算法介绍
我们首先讲的是未经优化的\(Dijkstra\)，也就是\(Dijkstra\)的基本原理：
我们知道，\(Bellman\)-\(Ford\)和\(SPFA\)算法的核心是松弛操作，而\(Dijkstra\)的核心又双叒叕是松弛，\(Dijkstra\)与前两位大佬的区别仍然是遍历的过程。Dijkstra的遍历过程也很简单，首先以起点为 \(S\) 点，首先松弛以 \(S\) 为中心的点（即与 \(S\) 相连的点），然后将已经有值且未被查找的点中最小的一个点提出来（设它是 \(A\) 点）再以 \(A\) 点为中心松弛与 \(A\) 相连的点，然后再次选出松弛后未查找的所有点中值最小的点（点 \(B\) )，以 \(B\) 为中心进行松弛，并以此类推。（注：因为要判断一个点是否被查找，我们可以建一个\(bool\)数组判断每个点有冇被查找。例如一个\(jud\) 数组，\(jud_i=false\) 表示 \(i\) 未被查找，反之则已被查找，以下的 \(jud\) 数组即表示该含义（"\(\text{judge}\)")，找最小值是就需要联立两个数组查找）
举个栗子
\(\tiny{\text{ps: 其实还是上次的图}}\)
我们
还是以 \(A\) 点为起点，首先我们对与A相连的\(BCD\)三点进行松弛操作，把\(BCD\)的值从\(∞\)改变成了对应边的值\((3,6,18)\)。那么很显然，此时：
注：\(jud_1\text{表示的是}jud_A,jud_2\text{表示的是}jud_B,\text{以此类推。}\)
现在，我们就可以选出满足( \(jud_X=0\) ) 的点中值最小的点（即点 \(B\) ) ，然后再对与点 \(B\) 相连的点 \(AE\) 分别进行松弛操作，\(A\) 不用更新，\(E\) 从\(∞\)变成了\(5\)。那么很显然，此时：
到了此时，我们就可以以此时满足( \(jud_X=0\) ) 的点中最小的点进行搜索，下一个搜的即为 \(E\)。（这里就可以体现出\(SPFA\)和\(Dijkstra\)之间的区别，\(SPFA\)此时应先搜索 \(C\)，而现在我们先搜了 \(E\)，而看到了结局的你应该知道E点可以改变\(D\)点的值，这就不用再向\(SPFA\)那样多搜一次\(D\)了），松弛与 \(E\) 相连的 \(BD\) 点松弛，把点 \(D\) 的值更新为\(6\)。（知道结局的你应该知道此时已经找到了最后的最优解，这就是\(Dijkstra\)与\(SPFA\)的区别，而优化\(Dijkstra\)，就是在优化找最小值的时间）。很显然，现在：
接下来就是“以此类推”了，我就直接简写了：找 \(C\)，没改变，找 \(D\)，还是没改变（其实也没有简单多少QwQ）。那么最优解就找出来了：
那么，接下来我们就要将优化了！！！，因为优化其实真挺简单（
如果你手打了三天的堆模板），如果能用上\(STL\)的话那就——"有 · 手 · 就 · 行"。
Dijkstra 的 heap 优化
在理解\(Dijkstra\)的优化前，你可能需要堆的知识（其实是博主在写之前需要的），所以这里给出了堆排序和堆的详细讲解传送门：
那么如果你已经看完了上面那篇文章，或者你本来就熟知堆的算法，那么你肯定知道找最大值是可以从\(O(n)\)简化到\(O(log_2n)\)的。（即原本需要从头循环到尾去寻找最大值，那么此时我们可以轻轻松松地\(STL\)用在这里啦！！！（不就找个最大值嘛），不懂的赶快移步至堆的讲解，看完你就懂了！
那么最后的最后我们上代码！！！：
#include<bits/stdc++.h>
#define N 500001
using namespace std;
//
struct MAX
{
int dot,num;
bool operator<(const MAX &x)const
{
return x.num<num;
}
}res;
priority_queue<MAX> h;
//
struct node
{
int des,val;
}cnt;
vector<node>data[N];
bool used[N],jud;
int dis[N];
//
int main()
{
int dotNum,EdgeNum,origin;
cin>>dotNum>>EdgeNum>>origin;
for(int i=1;i<=EdgeNum;++i)
{
int a,b,c;cin>>a>>b>>c;
cnt.des=b;cnt.val=c;
data[a].push_back(cnt);
}
for(int i=1;i<=dotNum;++i)
{
dis[i]=0x7fffffff;
}dis[origin]=0;
res.dot=origin;res.num=0;
h.push(res);
used[origin]=1;
while(!h.empty())
{
res=h.top();h.pop();
int u=res.dot;
if(used[u]&&jud!=0)continue;
jud=1;
for(int i=0;i<data[u].size();++i)
{
int v=data[u][i].des;
int w=data[u][i].val;
if(dis[u]+w<dis[v])
{
dis[v]=dis[u]+w;
res.num=dis[v];res.dot=v;
h.push(res);
}
}
used[u]=1;
}
for(int i=1;i<=dotNum;++i)
{
cout<<dis[i]<<' ';
}
return 0;
}
填坑第\(\huge{5}\)站完成！！！
