递增子序列--连续与不连续

问题一：最长严格递增子序列的长度

题目：
给定一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

状态定义：
dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度。

状态转移方程
对于每个 nums[i]，遍历其之前的所有元素 nums[j]（j 从 0 到 i-1），如果 nums[i] > nums[j]，则可以考虑将 nums[i] 加入到以 nums[j] 结尾的最长递增子序列中，状态转移方程为： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

动态规划解法：
我们使用 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度，不一定是连续的。（这就涉及到了选择的问题，我们需要考虑每个元素是否应该包含在递增子序列中。为了解决这个问题，我们使用动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长递增子序列的长度。在更新 dp[i] 的过程中，需要考虑所有比 nums[i] 小的元素，并选择其中最长的递增子序列进行延伸。这就需要使用两层循环，其中外层循环遍历每个元素，内层循环遍历之前的元素，以确保每个元素都被考虑。）为了求解 dp[i]，我们需要考虑所有在 i 之前的元素 nums[j]，其中 j 可以从 0 到 i-1。如果 nums[i] > nums[j]，说明 nums[i] 可以接在以 nums[j] 结尾的递增子序列后面，此时 dp[i] = dp[j] + 1。

def lengthOfLIS(nums):
    if not nums:
        return 0

    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if nums[i] > nums[j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    return max(dp)

问题二：最长连续递增子序列的长度

题目：
给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

状态定义：
dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长连续递增子序列的长度。

状态转移方程：
如果 nums[i] > nums[i-1]，则 dp[i] = dp[i-1] + 1；否则，重新开始计算连续递增子序列，dp[i] = 1。

动态规划解法：
我们使用 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最长连续递增子序列的长度。在这个问题中，我们只需要考虑当前元素和前一个元素的关系，如果 nums[i] > nums[i-1]，说明可以将 nums[i] 加入到连续递增子序列中，此时 dp[i] = dp[i-1] + 1；否则，重新开始计算连续递增子序列，dp[i] = 1。

def findLengthOfLCIS(nums):
    if not nums:
        return 0

    n = len(nums)
    dp = [1] * n

    for i in range(1, n):
        if nums[i] > nums[i - 1]:
            dp[i] = dp[i - 1] + 1
        else:
            dp[i] = 1

    return max(dp)

总结：
在动态规划中，问题的性质决定了状态转移的方式。在第一个问题中，子问题的解之间存在较为复杂的依赖关系，因此需要通过两层循环来更新动态规划数组。而在第二个问题中，子问题的解之间的依赖相对简单，只与前一个状态相关，因此只需要一层循环即可。
在第一个问题中，我们需要考虑每个元素与之前所有元素的关系，因此使用两层循环。而在第二个问题中，我们只需要考虑当前元素和前一个元素的关系，因此只需要一层循环。这反映了问题性质和解决方法的差异。

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本文作者：小苔藓
本文链接：https://www.cnblogs.com/taixian/p/18020577.html
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