CF2029

A

题意

给定整数 $l,r,k$，定义 $S$ 表示 $[l,r]$ 内的所有整数，一次操作形如：

• 从 $S$ 中选取一个数字 $x$，满足 $S$ 中至少有 $k$ 个 $x$ 的倍数；
• 从 $S$ 中删除 $x$。

求可以进行的最大操作次数。

分析

$S$ 中的一个整数 $x$ 可以操作当且仅当 $k\times x\le r$，即 $x\le \lfloor \frac{r}{k}\rfloor$。

于是合法的区间即为 $[l,\lfloor \frac{r}{k}\rfloor ]$，注意区间长度不能为负。

B

题意

给一个长度为 $n$ 的 $\mathtt{\text{01}}$ 串 $s$，一个长度为 $n-1$ 的 $\mathtt{\text{01}}$ 串 $r$。

希望对 $s$ 执行 $n-1$ 次操作。一次操作定义为：

• 选择一个索引 $k$ 满足 $s_k\ne s_{k+1}$。若无法选择这样的索引，则操作失败；
• 将 $\overline{s_k{s}_{k+1}}$ 替换为 $r_i$。

判断是否可能成功进行 $n-1$ 次操作。

分析

注意到，一个状态存在可操作的位置 $k$ 当且仅当序列不全为 $\mathtt{\text{0}}$ 或全为 $\mathtt{\text{1}}$，而一次 $r_i=\mathtt{\text{0}}$ 的操作等价于去除了序列中一个 $\mathtt{\text{1}}$ 位置，反之亦然。

那可以维护当前 $s$ 中 $\mathtt{\text{0}}$ 和 $\mathtt{\text{1}}$ 的数量，模拟操作即可。若一次操作前 $\mathtt{\text{0}}$ 的数量为 $0$ 或 $\mathtt{\text{1}}$ 的数量为 $0$ 即可判定无解。

C

题意

Kevin 在打 CF 比赛，他的 rating 初始为 $0$。给出他 $n$ 场比赛每场的表现分，若当前 rating 低于本场表现分则 rating 增加一，高于则减少一，等于则不变。Kevin 可以屏蔽一段区间的比赛（区间长度至少为 $1$），问最优情况下 Kevin 的最终 rating。

分析

我们可以通过模拟得到只考虑前 $i$ 场的 rating。然后考虑用一段后缀拼上一段前缀。

然后发现后缀不是很好递推处理，于是我们可以二分一个答案即最终位置的 rating，然后往前递推。由于是倒着推，遇到更小的表现分 rating 加一，遇到更大的表现分 rating 减一。相等的情况我们可以考虑一个贪心：我们希望前缀某个位置出现与当前 rating 相等直接屏蔽中间的区间，而由于 rating 更低的位置一定出现得更早，那我们一定会选择将 rating 减一。

rating 接近 $0$ 的时候有一些细节要特判。

D

题意

给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，定义一次操作为：

• 选三个两两不同的顶点 $a,b,c$，考虑边 $(a,b),(a,c),(b,c)$，若该边存在则删除，若该边不存在则加入；

定义好图为满足下列之一的图：

• 没有边的图；
• 树。

最多可以进行 $2\times max\{n,m\}$ 次操作，构造方案将原图变为好图。

分析

注意到操作次数的上界很有特点，这可能提示我们操作分为两步。

考虑先把图变为较为稀疏的图。我们对每个度数不小于 $2$ 的点 $x$，都对这个点和它的相邻节点进行一次操作。若相邻节点之间有连边，则操作删除了一个三元环的所有边；否则操作相当于将两个相邻节点连起来并断开 $x$ 与这两个节点的连边。

第一步后，原图转化为两类连通块：孤立点和两个点相连。如果不存在边那就做完了。

如果还有边我们就尝试将原图连成一棵树。选取当前已经连成一棵树的一个连通块为基础，将其他连通块合并到其中。若新的连通块是一个孤立点，选取其中的一个叶子和与它相连的一个点与之操作；若新的连通块是相连的两个点，选取一个叶子与之操作。不难验证操作的正确性。

由于需要动态维护边，使用 set 维护与一个节点相邻的点。

E

题意

定义对 $x$ 的一次操作为：

• 选择 $x$ 的一个因数 $d$ ($d\ge 2$)，$x\leftarrow x+d$。

称 $x$ 是 $y$ 的生成器当且仅当 $x$ 能通过若干次操作变成 $y$。

给一个数组 $a$ 满足 $a_i\ge 2$，找到一个整数 $x\ge 2$，使得每个 $1\le i\le n$ 中的 $x$ 都是 $a_i$ 的生成器，或者报告这样的整数不存在。

分析

手玩一下发现几个性质：

• 任何质数都无法从其他数操作得来；
• $2$ 是任何非质数的生成器。

对于性质二有一个简单的说明：偶数只需每次 $x\leftarrow x+2$，非质数奇数可以先减掉最小质因子 $d$，此时原数化归为偶数情况。

于是大体思路如下：

• 有两个或以上质数直接无解；
• 一个质数的答案要么是这个质数，要么无解；
• 没有质数的答案是 $2$。

那我们只要快速判定一个数 $x$ 是否可以被另一个质数 $p$ 生成出来即可。

对于一个偶数 $x$，可以被 $p$ 生成的充要条件是 $x\ge p\times 2$。显然可以构造出 $p\leftarrow p\times 2$，$p\leftarrow p+2\cdots$ 的方案以说明。

对于一个奇数 $x$，可以被 $p$ 生成的充要条件是 $x-d(x)\ge p\times 2$，同样可以构造出 $p\leftarrow p\times 2$，$p\leftarrow p+2\cdots$，$p\leftarrow p+d(p)\cdots$ 的方案。

处理质数和一个数的最小质因子可以同时用线性筛预处理。

F

题意

给一个环，环上的边黑白染色，判断环上任意两个顶点之间的（非简单）路径是否可以是回文。

分析

如果你没有手玩过样例，不要说你想了一个题。

手玩样例得到结论，一个环合法当且仅当满足下列之一：

• 同色段的长度不少于 $n-1$；
• 只有一个同色段的长度等于二，其余均为 $1$。

手玩的过程不知道咋写，就不投题解了。