CF2029
A
题意
给定整数 \(l,r,k\)，定义 \(S\) 表示 \([l,r]\) 内的所有整数，一次操作形如：
- 从 \(S\) 中选取一个数字 \(x\)，满足 \(S\) 中至少有 \(k\) 个 \(x\) 的倍数；
- 从 \(S\) 中删除 \(x\)。
求可以进行的最大操作次数。
分析
\(S\) 中的一个整数 \(x\) 可以操作当且仅当 \(k \times x \le r\)，即 \(x \le \left\lfloor \frac{r}{k} \right\rfloor\)。
于是合法的区间即为 \([l,\left\lfloor \frac{r}{k} \right\rfloor]\)，注意区间长度不能为负。
B
题意
给一个长度为 \(n\) 的 \(\texttt{01}\) 串 \(s\)，一个长度为 \(n-1\) 的 \(\texttt{01}\) 串 \(r\)。
希望对 \(s\) 执行 \(n-1\) 次操作。一次操作定义为：
- 选择一个索引 \(k\) 满足 \(s_k \neq s_{k+1}\)。若无法选择这样的索引，则操作失败；
- 将 \(\overline{s_k s_{k+1}}\) 替换为 \(r_i\)。
判断是否可能成功进行 \(n-1\) 次操作。
分析
注意到，一个状态存在可操作的位置 \(k\) 当且仅当序列不全为 \(\texttt{0}\) 或全为 \(\texttt{1}\)，而一次 \(r_i=\texttt{0}\) 的操作等价于去除了序列中一个 \(\texttt{1}\) 位置，反之亦然。
那可以维护当前 \(s\) 中 \(\texttt{0}\) 和 \(\texttt{1}\) 的数量，模拟操作即可。若一次操作前 \(\texttt{0}\) 的数量为 \(0\) 或 \(\texttt{1}\) 的数量为 \(0\) 即可判定无解。
C
题意
Kevin 在打 CF 比赛，他的 rating 初始为 \(0\)。给出他 \(n\) 场比赛每场的表现分，若当前 rating 低于本场表现分则 rating 增加一，高于则减少一，等于则不变。Kevin 可以屏蔽一段区间的比赛（区间长度至少为 \(1\)），问最优情况下 Kevin 的最终 rating。
分析
我们可以通过模拟得到只考虑前 \(i\) 场的 rating。然后考虑用一段后缀拼上一段前缀。
然后发现后缀不是很好递推处理，于是我们可以二分一个答案即最终位置的 rating，然后往前递推。由于是倒着推，遇到更小的表现分 rating 加一，遇到更大的表现分 rating 减一。相等的情况我们可以考虑一个贪心：我们希望前缀某个位置出现与当前 rating 相等直接屏蔽中间的区间，而由于 rating 更低的位置一定出现得更早，那我们一定会选择将 rating 减一。
rating 接近 \(0\) 的时候有一些细节要特判。
D
题意
给一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，定义一次操作为：
- 选三个两两不同的顶点 \(a,b,c\)，考虑边 \((a,b),(a,c),(b,c)\)，若该边存在则删除，若该边不存在则加入；
定义好图为满足下列之一的图：
- 没有边的图；
- 树。
最多可以进行 \(2 \times \max\left\{n,m\right\}\) 次操作，构造方案将原图变为好图。
分析
注意到操作次数的上界很有特点，这可能提示我们操作分为两步。
考虑先把图变为较为稀疏的图。我们对每个度数不小于 \(2\) 的点 \(x\)，都对这个点和它的相邻节点进行一次操作。若相邻节点之间有连边，则操作删除了一个三元环的所有边；否则操作相当于将两个相邻节点连起来并断开 \(x\) 与这两个节点的连边。
第一步后，原图转化为两类连通块：孤立点和两个点相连。如果不存在边那就做完了。
如果还有边我们就尝试将原图连成一棵树。选取当前已经连成一棵树的一个连通块为基础，将其他连通块合并到其中。若新的连通块是一个孤立点，选取其中的一个叶子和与它相连的一个点与之操作；若新的连通块是相连的两个点，选取一个叶子与之操作。不难验证操作的正确性。
由于需要动态维护边，使用 set 维护与一个节点相邻的点。
E
题意
定义对 \(x\) 的一次操作为：
- 选择 \(x\) 的一个因数 \(d\) (\(d \ge 2\))，\(x \leftarrow x+d\)。
称 \(x\) 是 \(y\) 的生成器当且仅当 \(x\) 能通过若干次操作变成 \(y\)。
给一个数组 \(a\) 满足 \(a_i \ge 2\)，找到一个整数 \(x \ge 2\)，使得每个 \(1 \le i \le n\) 中的 \(x\) 都是 \(a_i\) 的生成器，或者报告这样的整数不存在。
分析
手玩一下发现几个性质：
- 任何质数都无法从其他数操作得来；
- \(2\) 是任何非质数的生成器。
对于性质二有一个简单的说明：偶数只需每次 \(x \leftarrow x+2\)，非质数奇数可以先减掉最小质因子 \(d\)，此时原数化归为偶数情况。
于是大体思路如下：
- 有两个或以上质数直接无解；
- 一个质数的答案要么是这个质数，要么无解；
- 没有质数的答案是 \(2\)。
那我们只要快速判定一个数 \(x\) 是否可以被另一个质数 \(p\) 生成出来即可。
对于一个偶数 \(x\)，可以被 \(p\) 生成的充要条件是 \(x \ge p \times 2\)。显然可以构造出 \(p \leftarrow p \times 2\)，\(p \leftarrow p+2 \dotsb\) 的方案以说明。
对于一个奇数 \(x\)，可以被 \(p\) 生成的充要条件是 \(x-d(x) \ge p \times 2\)，同样可以构造出 \(p \leftarrow p \times 2\)，\(p \leftarrow p+2 \dotsb\)，\(p \leftarrow p+d(p) \dotsb\) 的方案。
处理质数和一个数的最小质因子可以同时用线性筛预处理。
F
题意
给一个环，环上的边黑白染色，判断环上任意两个顶点之间的（非简单）路径是否可以是回文。
分析
如果你没有手玩过样例，不要说你想了一个题。
手玩样例得到结论，一个环合法当且仅当满足下列之一：
- 同色段的长度不少于 \(n-1\)；
- 只有一个同色段的长度等于二，其余均为 \(1\)。
手玩的过程不知道咋写，就不投题解了。
