abc378

A

模拟。

B

模拟。

C

模拟。

D

爆搜。

E

题意

给一个序列 $A$ 和一个正整数 $M$，求：

$$\sum _{1\le l\le r\le N}\left(\left(\sum _{l\le i\le r}{A}_i\right)\mathrm{mod}M\right).$$

分析

先做个前缀和 $S$，原式化为：

$$\sum _{1\le l\le r\le N}(S_r-S_{l-1})\mathrm{mod}M,$$

根据 $S_r$ 和 $S_{l-1}$ 的大小关系可以分两类。

$$(S_r-S_{l-1})\mathrm{mod}M=S_r-S_{l-1}+\{\begin{array}{ll}0& (S_{l-1}\le S_r)\\ M& (S_{l-1}>S_r),\end{array}$$

注意到比 $S_r$ 大的 $S_l$ 会对答案产生 $M$的贡献，令 $X_r=\mathrm{size}:\{l=1,2,\dots ,r|S_{l-1}>S_r\}$ 则原式化为：

$$\sum _{r=1}^N\sum _{l=1}^r(S_r-S_{l-1})\mathrm{mod}M=\sum _{r=1}^N(S_r\times r-\sum _{l=1}^r{S}_{l-1}+M\times X_r).$$

很显然 $x_r$ 是可以通过扫描线求出的，只要维护一个树状数组即可。

F

题意

给你一棵有 $N$ 个顶点的树。添加一条边可以得到一个基环树，问有多少种添边方案满足：

• 图依然是简单图。
• 循环中所有顶点的度数都是 $3$。

分析

不难发现一种添边 $(u,v)$ 方式满足题意当且仅当：

• $de{g}_u=de{g}_v=2$
• $(u,v)$ 路径上的其他点 $p$ 都满足 $de{g}_p=3$。

可以记录一个 $a_u$ 表示与 $u$ 相连的度数为 $2$ 的点的数量。先对每个 $deg=3$ 的点算独立贡献，每新增一个度数为二的点贡献就是当前的 $a_u$。再合并不同的三度点，两个集合合并的贡献是 $a_U\times a_V$，可以用并查集维护。