Ucup

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A

矩乘优化 DP，卡常。

B

题意

给一个正整数序列 $A$，对 $k\in 0\cdots N$，求 $\{1,2,\cdots ,N\}$ 的子集 $S$ 的数量使得 $S$ 有一个子集 $T$ 满足 $|S|-|T|=k$ 且 $\sum _{i\in T}{A}_i\ge M$。

分析

不是很好想的 DP。

答案初始为 $2^n$，考虑扣掉不合法的方案数。首先 $S$ 的大小至少为 $k$。

$$ans=2^n-\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$$

考虑到小于比大于好求，将题意对称转化，计数 $S$，其所有子集 $T$ 满足 $|S|-|T|=k$ 则 $\sum _{i\in T}{A}_i<M$。

定义 $f(i,j)$ 表示选了前 $i$ 个的一部分，和为 $j$ 的方案数，$g(i,j)$ 表示选了前 $i$ 个的一部分，必须选 $i$，和为 $j$ 的方案数，转移是显然的：

$$f(i,j)=f(i-1,j)+f(i-1,j-A_i)$$

$$g(i,j)=f(i-1,j-A_i)$$

定义 $su{m}_i$ 表示前 $i$ 个数中选和不超过 $m$ 的方案数（必须选 $i$），则 $su{m}_i=\sum _{j}g(i,j)$。

扣除的第二部分可表示为 $\sum _{i=0}^{n-k}su{m}_i\times \left(\begin{array}{c}n-i\\ k\end{array}\right)$，表示枚举 $T$ 的范围（必须包含最后一位非常巧妙），在后面剩下的随便选 $k$ 个组成 $S$。

于是可得最终 $ans$ 的表达式。

$$ans=2^n-\sum _{i=0}^{k-1}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)-\sum _{i=0}^{n-k}su{m}_i\times \left(\begin{array}{c}n-i\\ k\end{array}\right)$$

时间复杂度 $O(n\times m)$。

C

题意

甲乙轮流完成 $n$ 项工作，甲做第 $i$ 项工作的时间是 $A_i+B_j$（甲之前做了 $j$ 项工作），乙做第 $i$ 项工作的时间是 $C_i+D_j$（乙之前做了 $j$ 项工作）。

求做完的最小时间。

分析

先假设全是甲做的，分开维护 $A,B$ 的贡献 $an{s}_1$ 和 $C,D$ 的贡献 $an{s}_2$。注意到将第 $i$ 项工作从甲做变为乙做对 $an{s}_1$ 产生 $B_i-A_i$ 的贡献，而 $an{s}_2$ 实际是 $C,D$ 的一段前缀和，可以预处理。

所以可以把 $B_i-A_i$ 插进堆里，每次取出最小值，过程中取 $an{s}_1+an{s}_2$ 的最小值。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

H

神秘期望题。

I

题意

求满足 $\mathrm{\exists }i,A_{P_1}+\cdots +A_{P_i}=A_{P_{i+1}}+\cdots A_{P_N}$ 的排列 $P$ 的个数。

分析

直接 DP，考虑往等式左右两边填数字。

定义 $f(i,j,s)$ 表示考虑 $A$ 的前 $i$ 位，此时等式左边有 $j$ 个，左边和为 $s$ 的方案数，则有转移：

$$f(i,j,s)=f(i-1,j-1,s-A_i)+f(i-1,j,s)$$

分别表示放在左边或右边，然后滚动数组或倒序转移优化掉第一维就行了。

时间复杂度 $O(n^4)$。

K

题意

有一个初始全 $0$ 的序列 $H$，每次可以选择一段连续的登高序列整体加一。要求序列的差分各项有最小值 $D$。

问最小进行整体加一的步骤数。

分析

考虑 DP。

定义 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个位置，当前高度为 $j$ 的最小花费，枚举某一位是上升还是下降，在下降的时候统计贡献，则有转移：

$$f(i,j+D_i)⟵f(i,j)$$

$$f(i,j-D_i)⟵f(i,j)+D_i$$

L

最先开的一题，居然想到菊花图就不会了，耻辱柱。

题意

给一个不降序列 $X$，定义图的权值为 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=i+1}^n{X}_{dis(i,j)}$，构造一个 $n$ 点 $m$ 边的无向图使得图的权值最小。

分析

图的权值和点的编号无关。可以先来一张菊花图，这样保证了最大用到 $X_2$。然后就有多少边连多少边，任意一对距离为 $2$ 的点都会在连边后变为距离为 $1$。随便怎么连。

时间复杂度 $O(m)$。

M

题意

给长度为 $n$ 的 $A$，长度为 $m$ 的 $B$。从 $A$ 中选 $m$ 个组成 $C$ 与 $B$ 匹配，最小化代价 $\sum _{i=1}^m|B_i-C_i|$

分析

定义 $f(i,j)$ 表示在 $A$ 的前 $i$ 个中，$B$ 的前 $j$ 个中选一部分的最小花费.

$$f(i,j)=min\{\begin{array}{l}f(i-1,j)\\ f(i-1,j-1)+|A_i-B_i|\end{array}$$

答案是 $f(n,m)$。