题解：CF724E Goods transportation

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题意

有 $n$ 座城市，第 $i$ 座城市生产了 $p_i$ 件货物，最多可以出售 $s_i$ 件货物，编号小的城市可以向编号大的城市运输至多 $c$ 件货物，问最多能出售多少货物。

$n\le {10}^4$。

分析

乍一看是一个网络流问题，可以这样建图，令 $S$ 为源点 $T$ 为汇点：

$$S\stackrel{p_i}{\to }i\stackrel{s_i}{\to }T$$

$$i\stackrel{c}{\to }j(i<j)$$

然后跑一个最大流就可以。但这样建边第二类就会有 $O(n^2)$ 条边，寄。

模拟费用流就是应对这样的情况的。我们把最大流问题转换为最小割问题，然后考虑使用 DP 求解。

令 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个点，$j$ 个点与 $S$ 的连边未断开，注意到 $(S,i)$ 与 $(i,T)$ 必断其一，则有转移：

$$f(i,j)=min\{\begin{array}{l}f(i-1,j)+p_i+c\times j\\ f(i-1,j-1)+s_i\end{array}$$

分别表示：

1. 断开 $(S,i)$ 需要断开与前面所有未断开与 $S$ 连边的点的连边；
2. 断开 $(i,T)$。

时间复杂度 $O(n^2)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0)

const int N=1e5+5;
int n,c;
int s[N],p[N];
int f[N];

signed main()
{
	IOS;
	cin>>n>>c;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i]=f[i-1]+s[i];
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
			f[j]=min(f[j]+c*j+p[i],f[j-1]+s[i]);
		f[0]+=p[i];
	}
	int ans=1e16;
	for(int i=0;i<=n;i++) ans=min(ans,f[i]);
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}