数据结构关于带状矩阵的某一问题求解

写下来的原因，是觉得这个对我来说有纪念意义(大佬勿喷，虽然没有大佬会看……)。第一次主动写总结，真的是好激动呢。

 

 

 先做了这一题，然后在下一题里面给了自己点启发。

题目是这样子的：

 

 

 　　ps：这题我也不知道标准答案，自己的拙劣方法，感觉还有有更好的更简便的方法。

用到的数学知识:

 

已知等差数列 首项为a，公差为d，共有n项。Sn =  n * a + n * (n-1) * d / 2  （我也没背，只记得首项加尾项乘以项数除以2的口诀，再推导）

 

推导式子：a + a+d + a+2d + …… + a + (n - 1)d = (2a + (n - 1)d ) * n / 2   (***)= n * a + n * (n-1) * d / 2  

(a)   主对角线上下方各a-1条对角线

　　容易发现：主对角线上有n个元素，相邻的每隔一条会减少一个元素。

##1　不算主对角线的n个元素，剩下的   a-1  条对角线元素依次为： n - 1，n - 2 ，……，n - (a - 1) 再等差数列求和 再乘以2  再加上n即为答案

　　用上面的 式子就可不用一 一列出尾项，公差为-1，首项为n - 1 ，项数为a - 1条， 带入可直接得到这部分个数和。

　　不过我更喜欢 (***)式子的表示形式：为(2n - a) * ( a - 1) / 2

　　所以答案为 :   (2n - a) * (a - 1) + n

(b)  这题靠感觉吧，观察矩阵的下标，再尝试性将a赋予不同的值观察。

 

 

 发现，| i - j | = a - 1 时  为带状区域的边界

| i - j |  的值越大，那么对应位置的元素越靠近左下角和右上角。

所以本题答案为：| i - j |  <=  a  - 1

 

(c) 这小题让我很想记录下这个题目。以及我的思维过程

以前听课，老师讲过行序列序，没讲过按对角线序存储。

这题本质就是找到aij 这个元素在一维矩阵中是第几个元素。

根据(b)题的启发，我们可以发现，根据i - j 的值可以轻松的发现aij 这个元素在第几条对角线上。

当i - j = a - 1 时就是第一条对角线， 为 a - 2 时为第二条对角线， 为0 时 主对角线， 2 - a 时 倒数第二条对角线， 1 - a 时为倒数第一条对角线。

发现了在第几条对角线，之后看到两侧的第一条对角线和倒数第一条对角线元素个数为n - (a - 1)个（可以根据文中  ##1 标记处发现）就又是等差数列的问题。

这里还需要分类讨论，因为在二维数组中主对角线两侧的元素位置对称的情况下，在一维数组中位置并不对称。

分i  >= j 和 i <= j讨论。

　　i >= j 时：

发现 a - 1 - （i - j）就意味着，在aij 所在的对角线前，一共有几条对角线，也就是等差数列的项数，第一条对角线的数目为 n - (a - 1)，即为首项，元素个数以1递增

又发现，在i >= j条件下aij，的 j值  就表示其在那条对角线上，元素位置为 第 j + 1 个。

也就是说，aij 是前面所有对角线元素个数和，加上j+1，在对应一维数组中的寻址位置也就是再减一。

具体计算小心一点就可得出答案。

 

　　i < j 时：

在下面a-1条及主对角线的基础上，在上半区域里面，即上面的a-1条对角线里面再开始大体相同的计算。

发现 0 - （i -  j）- 1就意味着，在aij 所在的对角线前，一共有几条对角线，即项数，首项是 n - 1，元素个数以1递减。

对应发现，aij 的  i值  就表示在那条对角线上，元素位置为第 i + 1 个

再加上前面的a条对角线一共的总数目，得到这个是第几个位置的元素，再减一，即为对应一维数组中的寻址地址。

 

答案(经过验算的..)为：

 

 

ps：本想将第二个式子拆开找与i >= j情况下式子的微妙关系，尝试合并，结果是徒劳，然后还是觉得原来不拆开的式子好看。