单位根反演推导
问题模型
给出两个整数\(N,S\)以及一个长度为\(4\)的数组\(A_{0 \sim 3}\)。
求：$\sum_{i=0}^{n} C(n,i) S^i A_{(i \mod 4)} $。
公式推导
因为只有\(4\)个值，所以我们考虑将答案拆开：
\[ Ans = \sum_{r=0}^{3} \sum_{i=0}^{n} [i \equiv r\mod 4] C(n,i) S^i
\]
我们考虑单位根反演：
\[ [k|n] = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} \omega_{k}^{in}
\]
考虑证明：
- \(k|n\)成立，那么显然等于\(1\)。
- 如果\(k\not|n\)，那么可以写成等比数列求和：\(\sum_{i=0}^{k-1}\omega_{k}^{in} = \frac{\omega_{k}^{kn}-1}{\omega_{k}^{n}-1} = 0\)
那么我们就可以将答案写成：
\[ Ans = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{i=0}^{n} [4 | (i-r)] C(n,i) S^i
\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{i=0}^{n} C(n,i) S^i \frac{1}{4}\sum_{j=0}^{3}\omega_{4}^{(i-r)j}
\]
\[ \ \ \ \ \ = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{j=0}^{3} \omega_{4}^{-jr} \sum_{i=0}^{n} C_{n}^{i} S^i \omega_{4}^{ij}
\]
\[ \ \ \ = \sum_{r=0}^{3} A_r \sum_{j=0}^{3} \omega_{4}^{-jr} (S\omega_{4}^{j}+1)^n
\]
就做完了。
