FMT快速莫比乌斯变换

问题模型

快速求\(f(S) = \sum_{A \cup B = S} g(A)h(B)\)。

公式推导

原式等价与：

\[ f(S) = \sum_{A \subseteq S} \sum_{B \subseteq S} [A \cup B = S]g(A)h(B) \]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{A \subseteq S} g(A) \sum_{B \subseteq S} h(B)[A \cup B = S] \]

那么我们设：

\[\hat f(S) = \sum_{T \subseteq S} f(T) \]

\[\hat g(S) = \sum_{T \subseteq S} g(T) \]

\[\hat h(S) = \sum_{T \subseteq S} h(T) \]

就有：

\[ \hat f(S) = \hat g(S) \times \hat h(S) \]

之后可以用之前的子集反演得到：

\[ f(S) = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|S-T|} \hat f(T) \]

现在问题就是如何快速的在\(\hat f\)与\(f\)之间变换。
由于\(3^n\)的枚举子集过于简单，就不讲了，在这里介绍\(O(n2^n)\)的做法：
我们先考虑正变换，考虑递推：
设\(\hat f_{i}(S)\)表示\(\sum_{T \subseteq S} [(S-T) \subseteq \{0,1,2,...,i\}] f(T)\)
那么我们有：$ \hat f_{0}(S) = f(S) \( 然后对于所有**不包含**\)i+1\(这个元素的集合\)S$，有：

\[\hat f_{i+1}(S) = \hat f_{i}(S) \]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat f_{i+1}(S \cup \{i+1\}) = \hat f_{i}(S \cup \{i+1\}) + \hat f_{i}(S) \]

那么\(\hat f_n\)即为所求。
接下来我们考虑反演，求出答案：
我们类似的定义\(f_{i}(S)\)，那么对于所有不包含\(i\)这个元素的集合\(S\)，有：

\[f_{i-1}(S) = f_{i}(S) \]

\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f_{i-1}(S \cup \{i\}) = f_{i}(S \cup \{i\}) - f_{i}(S) \]

最后\(f_0\)即为所求。
又因为每一位（每一个元素）是独立的，所以我们可以从\(0 \sim n\)而不是从\(n \sim 0\)。
那么我们就做完了。

拓展\(_1\)：集合交卷积

这个也是可以做集合交卷积的。
因为\(A \cap B\) = \(All - (All-A) \cup (All-B)\)
所以我们在进行变换之前先将每个值和它的补集交换一下，
在变换之后在交换一次，就好了。

拓展\(_2\)：子集卷积

其实就是在并集的基础上有加了一个条件：\(A \cap B = \Phi\)。
这样我们只需要再加一维表示集合的大小，就好了。