计数题小记

前言

因为是技术题，所以要寄。

[ARC146C] Even XOR

注意到题目要求是是 $S$ 的长度为奇数子集异或和互不相同，并且 $S\subseteq \{0,1,2,...,2^n-1\}$，可得当 $|S|>n+1$ 时，是没有贡献的。
证明：当 $|s|=n+k,k\ge 2$ 时若有贡献，则 $S$ 要有 $2^{n+k-1}$ 个异或和不同的奇数子集。而由题目得，每个子集的异或和取值范围是 $[0,2^n-1]$，两者显然矛盾。

设 $f_i$ 为大小为 $i$ 的合法集合个数，则显然有 $f_0=1,ans=\sum _{i=0}^{n+1}{f}_i$。

$f_i$ 如何转移到 $f_{i+1}$？考虑剩还有多少种元素，与大小为 $i$ 的子集组合，即 $\frac{1}{i+1}\times f_i(2^n-2^{i-1})\to f_{i+1}$。

值得注意的是，集合是无序的，所以每一步转移要乘上 $\frac{1}{i+1}$。时间复杂度 $O(n)$。code