模板——图论
缩点（强连通分量）
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const int N=1e5+5,inf=1e9;
vector<int> a[N];
stack<int> stk;
bool vis[N],instk[N];
int dfn[N],low[N],col[N],w[N]; // co:染色结果，w:点权
vector<int> sz; // sz:第i个颜色的点数
int n,m,dcnt;//
void dfs(int x){ // Tarjan求强联通分量
vis[x]=instk[x]=1; stk.push(x);
dfn[x]=low[x]=++dcnt;
for(auto p:a[x]){
if(!vis[p])dfs(p);
if(instk[p])low[x]=min(low[x],low[p]);
}
if(low[x]==dfn[x]){
int t; sz.push_back(0); // 记录
do{
t=stk.top();
stk.pop();
instk[t]=0;
sz.back()+=w[t]; // 记录
col[t]=sz.size(); // 染色
}while(t!=x);
}
}
void getscc(){
fill(vis,vis+n,0);
sz.clear();
for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i])dfs(i);
}
struct pii{
int u,v;
};
void shrink(){ // 缩点，在a里重构
vector<pii> tmp;
getscc();
for(int i=1;i<=n;i++) {
for (auto j: a[i]) if (col[i] != col[j]) {
pii u = {col[i], col[j]};
tmp.push_back(u);
}
}
n=sz.size();
for(int i=1;i<=n;i++){
a[i].clear();
w[i]=sz[i];
}
for(auto i:tmp){
a[i.u].push_back(i.v);
}
}
最大流+输出方案
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struct FLOW{
struct edge{int to,w,nxt;};
vector<edge> a; int head[N],cur[N];
int n,s,t;
queue<int> q; bool inque[N];
int dep[N];
void ae(int x,int y,int w){ // add edge
//cout<<"ae:"<<x<<" "<<y<<" "<<w<<endl;
a.push_back({y,w,head[x]});
head[x]=a.size()-1;
}
bool bfs(){ // get dep[]
fill(dep,dep+n,inf); dep[s]=0;
copy(head,head+n,cur);
q=queue<int>(); q.push(s);
while(!q.empty()){
int x=q.front(); q.pop(); inque[x]=0;
for(int i=head[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
int p=a[i].to;
if(dep[p]>dep[x]+1 && a[i].w){
dep[p]=dep[x]+1;
if(inque[p]==0){
inque[p]=1;
q.push(p);
}
}
}
}
return dep[t]!=inf;
}
int dfs(int x,int flow){ // extend
int now,ans=0;
if(x==t)return flow;
for(int &i=cur[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
int p=a[i].to;
if(a[i].w && dep[p]==dep[x]+1)
if((now=dfs(p,min(flow,a[i].w)))){
a[i].w-=now;
a[i^1].w+=now;
ans+=now,flow-=now;
if(flow==0)break;
}
}
return ans;
}
bool is[N];
void init(int _n){
n=_n+1; a.clear();
fill(head,head+n,-1);
fill(inque,inque+n,0);
fill(is,is+n,0);
}
int solve(int _s,int _t,int _n){ // return max flow
s=_s,t=_t;
int ans=0;
while(bfs()) ans+=dfs(s,inf);
for(int e=head[s];e>=0;e=a[e].nxt) if(a[e^1].w) is[a[e].to]=1;
for(int e=head[t];e>=0;e=a[e].nxt) if(a[e].w){
int v=a[e].to,u=v;
while(1){
if(u>=1 && u<=_n && is[u]){
is[u]=0;
break;
}
int w=0,tmp=0;
for(int i=head[u];i>=0;i=a[i].nxt) if(i&1 && a[i].w){
w=a[i].to;
tmp=i;
break;
}
if(!w) break;
a[tmp].w--;
u=w;
}
//cout<<u<<" "<<v-_n<<endl;
// fa[find(u)]=find(v-_n);
}
return ans;
}
}flow;
void add(int x,int y,int w){flow.ae(x,y,w),flow.ae(y,x,0);}
2-sat
1.暴力dfs
判断是否有解/找字典序最小解——\(O(VE)\)（实际远小于上界）
按字典序找出前\(k\)个方案——\(O(kVE)\)（甚至能通过\(k,V2000\)的稠密图）
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struct twosat{ // 暴力版
int n;
vector<int> g[N*2];
bool mark[N*2]; // mark即结果，表示是否选择了这个点
int s[N],c;
bool dfs(int x){ // private
if(mark[x^1])return 0;
if(mark[x])return 1;
mark[s[c++]=x]=1;
for(auto p:g[x])
if(!dfs(p))
return 0;
return 1;
}
void init(int _n){
n=_n;
for(int i=0;i<n*2;i++){
g[i].clear();
mark[i]=0;
}
}
int cnt=0;
void solve(int pos){ // 按照字典序寻每一个解
if(pos==n){
cnt++;
//cout<<"cnt="<<cnt<<endl;
if(cnt>tot){
puts("-1");
exit(0);
}
//while(c>0)mark[s[--c]]=0;
return;
}
int u=pos*2,v=u+1;
if(mark[u] || mark[v]){
solve(pos+1);
return;
}
int tmp=c;
if(dfs(u)) solve(pos+1);
while(c>tmp) mark[s[--c]]=0;
tmp=c;
if(dfs(v)) solve(pos+1);
while(c>tmp) mark[s[--c]]=0;
}
/*
bool solve(){ // 返回是否存在解
for(int i=0;i<n*2;i+=2)
if(!mark[i] && !mark[i^1]){
c=0;
if(!dfs(i)){
while(c>0)mark[s[--c]]=0;
if(!dfs(i^1))return 0;
}
}
return 1;
}
*/
}ts;
2.（利用对称性）缩点
判断是否有解/找一个解——\(O(V+E)\)
3.bitset优化
优化两个过程：
1.求传递闭包
2.dfs找答案的判断（把O(E)变成O(V/bitset)）
而dfs找答案的优化建立在求传递闭包的基础上，适用于找多个方案
按字典序找出前\(k\)个方案——\(O((kV^2+V^3)/bitset)\)(实际不比暴力快太多且码量大增，作为暴力被卡的替代方案)
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4005;
int n,m;
vector<int> v[N];int dfn[N],low[N],scc[N],sidx,stk[N],top;
bool instk[N];
void tarjan(int pos)
{
static int didx = 0;dfn[pos] = low[pos] = ++didx;stk[++top] = pos;instk[pos] = 1;
for (auto &i : v[pos])
if (!dfn[i]) tarjan(i),low[pos] = min(low[pos],low[i]);
else if (instk[i]) low[pos] = min(low[pos],dfn[i]);
if (dfn[pos] == low[pos])
{
scc[pos] = ++sidx;instk[pos] = 0;
while (stk[top] != pos) {int nd = stk[top--];instk[nd] = 0;scc[nd] = sidx;}
--top;
}
}
int cc;bitset<N> e[N],re[N],cov,vis;
void dfs(int pos)
{
if (pos == m + 1)
{
if (++cc > n) {cout << -1 << endl;exit(0);}
return;
}
assert(!cov[scc[pos * 2]] || !cov[scc[pos * 2 + 1]]);
if (cov[scc[pos * 2]] || cov[scc[pos * 2 + 1]]) return dfs(pos + 1);
if ((cov & re[scc[pos * 2 + 1]]).none() && (vis & e[scc[pos * 2]]).none())
{
auto t1 = cov,t2 = vis;cov |= e[scc[pos * 2]];vis |= re[scc[pos * 2 + 1]];
dfs(pos + 1);
cov = t1;vis = t2;
}
if ((cov & re[scc[pos * 2]]).none() && (vis & e[scc[pos * 2 + 1]]).none())
{
auto t1 = cov,t2 = vis;cov |= e[scc[pos * 2 + 1]];vis |= re[scc[pos * 2]];
dfs(pos + 1);
cov = t1;vis = t2;
}
}
bool del[N];
int main ()
{
cin >> n >> m;
//...(build_edge)
for (int i = 2;i <= m * 2 + 1;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i);
//build
for (int i = 2;i <= m * 2 + 1;i++) assert(scc[i] != scc[i ^ 1]);
//e,re
for (int i = 1;i <= sidx;i++) e[i][i] = 1;
for (int i = 2;i <= m * 2 + 1;i++)
for (auto &j : v[i]) e[scc[i]][scc[j]] = 1;
for (int i = 1;i <= sidx;i++)
for (int j = 1;j <= sidx;j++) if (e[j][i]) e[j] |= e[i];
for (int i = 1;i <= sidx;i++)
for (int j = 1;j <= sidx;j++) if (e[i][j]) re[j][i] = 1;
//cov,vis
for (int i = 1;i <= m;i++)
if (e[scc[i * 2]][scc[i * 2 + 1]]) cov[scc[i * 2 + 1]] = vis[scc[i * 2]] = 1;
else if (e[scc[i * 2 + 1]][scc[i * 2]]) cov[scc[i * 2]] = vis[scc[i * 2 + 1]] = 1;
dfs(1);
return 0;
}
