分拆数

将n拆分成任意个无标号正整数（也可认为是排好序）的方案数记为$P_n$

暴力DP——$O(n^2)$

两种考虑方式，第一维都是总和，对于第二维，一种是考虑前j种数，另一种是分成j个数。即第一种是完全背包，第二种是考虑最小的数是否为1转移。

数据分治优化——$O(n\sqrt{n})$

注意到两种DP的效率分别是$O(n\times 拆成数的值域大小/拆成数的个数)$，考虑经典的数据分治优化:
对于前者只考虑在值域$\sqrt n$内的数；

那么剩下的大于$\sqrt{n}$的数，就不会超过$\sqrt{n}$，就可以用第二个DP了！

至此，已经得到了比较实用的做法，即码量较小的$O(n\sqrt{n})$。

（664B）

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=505,P=998244353;
void A(int& x,int y){
	x+=y;
	if(x>=P) x-=P;
}
int n,m,f[N][2],g[N][2],s[N];
int main()
{
	cin>>n;
	m=(int)(sqrt(n)+0.5);
	f[0][0]=1;
	for(int j=1;j<=m;j++){
		int p=(j&1);
		for(int i=0;i<=n;i++){
			f[i][p]=f[i][!p];
			if(j<=i) A(f[i][p],f[i-j][p]);
			if(j==m) g[i][0]=f[i][p],s[i]=f[i][p];
		}
	}
	
	for(int j=1;j<=n/m;j++){
		int p=(j&1);
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if(i>=m+1) g[i][p]=g[i-1-m][!p];
			else g[i][p]=0;
			if(j<=i) A(g[i][p],g[i-j][p]);
			A(s[i],g[i][p]);
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",s[i]);
	return 0;
}

为了追求极致（防止丧病出题人），还是要研究一下最优的log做法。

多项式做法（五边形数定理）——$O(nlogn)$

考虑生成函数，容易发现拆分数对应的多项式是$\prod_{i=1}^n 1-x^i$的逆，而这个式子有个神奇的结论：
$\prod_{i=1}^n 1-x^i=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}(-1)^ix^{\frac{i(3i-1)}{2}}$
由于最后的指数是五边形数，故称为五边形数定理。
发现指数是i的平方级别，那么枚举绝对值在$\sqrt{n}$内的i（具体的，稍作放缩可得$\sqrt{\frac{2}{3}n}$），然后求逆即可。
好像套个板子就没了，比根号的还好写。

（2249B）

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=(1<<20)+5,P=998244353,G[2]={3,(P+1)/3};
inline int fpw(int a,int x){
    int s=1;
    for(;x;x>>=1,a=1ll*a*a%P) if(x&1) s=1ll*s*a%P;
    return s;
}
int rv[N],gp[2][N],iv[N],fc[N],fv[N];
void init(int n){
	fc[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++) iv[i]=fpw(i,P-2),fc[i]=1ll*fc[i-1]*i%P;
    fv[n-1]=fpw(fc[n-1],P-2);
    for(int i=n-2;~i;i--) fv[i]=1ll*fv[i+1]*(i+1)%P;
    for(int p=0;p<2;p++){
        for(int i=1;i<n;i<<=1){
            gp[p][i]=1;
            int t=fpw(G[p],(P-1)/(i<<1));
            for(int j=i+1;j<(i<<1);j++) gp[p][j]=1ll*gp[p][j-1]*t%P;
        }
    }
}
void print(char name[],int n,int* a){
	printf("%s n=%d\n",name,n);
	for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<" "; puts(""); 
}
inline void dft(int* a,int n,int p){
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<rv[i]) swap(a[i],a[rv[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        for(int j=0;j<n;j+=(i<<1)){
            for(int k=0;k<i;k++){
                int &A=a[i+j+k],&B=a[j+k],t=1ll*gp[p][i+k]*A%P;
                A=B-t; if(A<0) A+=P;
                B=B+t; if(B>=P) B-=P;
            }
        }
    }
    if(p) for(int i=0;i<n;i++) a[i]=1ll*a[i]*iv[n]%P;
}
inline int Rev(int m){
    int p=0,n=1;
    while(n<m) n<<=1,p++;
    for(int i=0;i<n;i++) rv[i]=(rv[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
    return n;
}
inline void poly_mul(int m,int* A,int* B,int* C){
    int n=Rev(m);
    dft(A,n,0); dft(B,n,0);
    for(int i=0;i<n;i++) C[i]=1ll*A[i]*B[i]%P;
    dft(C,n,1);
    fill(C+m,C+n,0);
}
int C[N],D[N];
inline void poly_inv(int m,int *a, int *b) {
    if(m==1){
        b[0]=fpw(a[0],P-2);
        return;
    }
    poly_inv((m + 1)>>1,a,b);
    int n=Rev(m<<1);
    copy(a,a+m,C);
    fill(C+m,C+n,0);
    dft(b,n,0); dft(C,n,0);
    for(int i=0;i<n;i++) b[i]=1ll*b[i]*(P+2-1ll*b[i]*C[i]%P)%P;
    dft(b,n,1);
    fill(b+m,b+n,0);
}
void A(int& x,int y){
	x+=y;
	if(x>=P) x-=P;
}
int n,m,a[N],b[N];
int main(){
	init(1<<19);
	cin>>n;
	m=(int)(sqrt(n*2/3+1)+0.5);
	for(int i=-m;i<=m;i++){
		int t=i*(3*i-1)/2;
		if(t>n) continue;
		if(abs(i)&1) A(a[t],P-1);
		else A(a[t],1);
	}
	poly_inv(n+1,a,b);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",b[i]);
	return 0;
}