各类ODE总结

一阶ODE

一、可分离变量
形如：
$M1(x)M2(y)dx+N1(x)N2(y)dy=0$
$N1(x)=0-->x_0$
$M2(y)=0-->y_0$
同除$N1(x)M2(y)$,再积分

二、通过代换化成一
1.$\frac{dy}{dx}=f(ax+by)$
2.$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$
相同的思路，令$z=()$,两边求导，再把$\frac{dy}{dx}$换掉，得到关于z的可分离变量ODE.

三、一阶线性ODE
$y'+P(x)y=Q(x)$
齐次通解
$y'+P(x)y=0$
$y=Ce^{-\int P(x)dx}$
非齐次通解
$y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}+C]$

四、$Bernoulli$ ODE
$y'+P(x)y=Q(x)y^n$
$y^{-n}y'+y^{1-n}P(x)=Q(x)$
$u=y^{1-n}$,带入，得关于u的线性ODE

二阶ODE

1.$y''=f(x,y')$
$y'=P$
化为关于P的一阶

2.$y''=f(y,y')$
$y'=P$
$y''=\frac{dP}{dy} \frac{dy}{dx}=\frac{dP}{dy}P$
化为关于P的一阶

3.二阶线性ODE
齐次通解
$y''+py'+qy=0$
$\lambda^2+p\lambda+q=0$
（1）.有两个相异的实根：$y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$
（2）.有两个相同的实根：$y=(C_1x+C2)e^{\lambda x}$
（3）.有两个共轭的复根：$y=(C_1cos\beta x+C_2sin\beta x)e^{\alpha x}$
非其次特解
$y''+py'+qy=\phi(x)e^{rx}$
$y=x^kA(x)e^{rx}$
k为r的在特征方程中的重数，$A(x)$为与$\phi(x)$同阶的多项式，可用待定系数法求得。

$e^{ix}=cosx+isinx$
等式右边含有$cosx$或$sinx$时，可令其为$e^{ix}$，最后取解的实部/虚部。