CF156D Clues

考虑共有$k$个连通块，第$i$个联通块的大小为 $s_i$ ，在最终生成的树的度数为 $d_i$ 的方案数。

对应到prufer序列上就是

$${k-2\choose d_1-1,d_2-1\cdots d_k-1}\prod {{s_i}^{d_i}}=\frac{(k-2)!}{\prod (d_i-1)!}\prod {{s_i}^{d_i}}$$

看到这个$d_i-1$的形式似乎不是很优美，设$f_i=d_i-1$，即

$${k-2\choose e_1,e_2,\cdots ,e_k}\prod{s_i^{e_i+1}}$$

这是个多项式定理的形式，多项式定理即为项数多于 $1$ 的情况下

$$(x_1+x_2+\cdots+x_t)^m=\sum_{\sum n_i=t}{{t\choose n_1,n_2,\cdots,n_t}}\prod x_i^{n_i}$$

$n_i$ 为 $x_i$ 这项的系数，一个比较简单的证明：从 $m$ 项中选择 $n$ 个数，那么组合为 $(n_1,n_2,\cdots,n_t)$的方案就有

$$t\choose n_1,n_2,\cdots,n_t$$

种，每种权值为 $\prod x_i^{n_i}$。

由于$\sum s_i=n$于是原式即可化为

$$n^{k-2}\prod s_i$$