联合省选2021题解
联合省选2021题解
Day1
A.卡牌游戏
一个很显然的思路是枚举最大值和最小值的位置，然后用\(O(N)\)的时间判断一下是否合法。时间复杂度\(O(N^3)\)。
那考虑对这个算法优化，由于\(m\)的限制显然满足可二分性（我们的策略一定是能不翻就不翻），因此可以考虑枚举最小值位置的同时二分答案，那么我们只需要特殊考虑一下无法通过反转满足要求的边界，找到二分的区间即可。
复杂度\(O(n\log n)\)
B.矩阵游戏
考虑没有上下界限制的答案那么显然可以钦定\(A\)矩阵的最左边一列和最上边一行均为\(0\)，递推计算即可。
考虑\(0\leq A_{i,j}\leq 10^6\)的限制，注意到如果对于一行，把第\(x\)个数加上\((-1)^x\times k\)，\(k\)为任意整数，那么新的矩阵依然合法。列同理。
那考虑我们给每一行加上一个值\(r_i\)，每一列加上一个值\(c_i\)，那么我们最后的答案可以写成这个形式
但我们很不喜欢看到这种加和的项，因此考虑隔行取反，这样就可以进行差分约束了。
复杂度\(O(nm)\)
C.图函数
考虑另一个问题：无论\(v\)有没有对\(u\)做贡献，我们都将它删去。
那么仔细想想这个题是和原问题等价的，因为如果这个点\(v\)没有和\(u\)强联通，那么其他点和\(u\)强联通的那两条路径上也必不会有\(v\)（否则设这个点为\(x\),\(x\)显然可以通过\(v\)走到\(u\)）。
那考虑最终答案是\(\sum{f(u,G)}\)，那么我枚举\(u\)，只考虑编号不小于\(u\)的点，倒序加边，那如果一个\(v\)和\(u\)强联通了，设这条路径上编号最小的边编号为\(x\),那么点对\((u,v)\)可以对\(h(G)....h(G_{x-1})\)做贡献。于是差分一下，最后统计一下后缀和即可。
Day2
D.宝石
显然可以\(O(nm\log n)\)用倍增解决。
但上述做法是没有前途的。
考虑\(m\leq300\)
首先可以发现我们要把\(s\to t\)的路径拆成\(S\to LCA\)和\(LCA\to T\)
由于\(P_i\)互不相同，那么我们可以处理出每个点\(i\)，设\(f(i,gem)\)表示\(i\)向上的第一个宝石为\(gem\)的节点，那我们可以\(O(nm)\)处理出\(f\)的值，对于\(S\to LCA\)的路径暴跳即可，对于\(LCA\to T\)的路径我们反着暴跳即可。
现在\(m\leq 5\times10^4\)
上述做法看起来也歇了，但仔细想想是有前途的，我们可以用主席树把空间缩小，那么关键的部分就是我们不能在树上暴跳了。
但我们发现从\(i\)往上找一个宝石，再从这个点往上找一个，等价于从\(i\)向上找两个。
那么倍增即可处理\(S\to LCA\)的部分。
对于\(LCA\to T\)的路径我们可以二分这部分收了多少宝石，然后从\(T\)反着找这么多宝石，看最后的那个点深度与\(LCA\)的关系
时间复杂度\(O(n\log^2n)\)
E.滚榜
省选最大诈骗题
因为我们不关心\(b_i\)的具体分配方式，因此对于一个全排列我们可以贪心地去分配。给每一个人尽量少的\(b\)，最后看\(m\)个题是否够分即可。
时间复杂度\(O(n!)\)，期望得分\(60pts\)
虽然上边的那个大暴力得分很高，但是它是没有前途的，看到这个范围其实应该还是给状压\(dp\)的。
由于\(b_i\)单调不降，那么如果我这个点分配了一些题，那么后边所有点都要分配至少这么多题。
那么可以考虑维护增量，提前计算贡献，设\(f(S,i,j)\)表示已经选的人的集合为\(S\)，上一个选的是\(i\)，已经有的贡献是\(j\)的可能排名个数，枚举增量和上一个的位置转移即可。
F.支配
支配关系显然形成一棵树，且我们可以用类似于拓扑排序的方法求出支配树。
问题就在于如何处理询问。
注意到一个点\(u\)的受支配集改变一定是存在一条路径使得他不经过\(u\)的祖先，进一步的我们发现他一定不经过\(u\)在支配树上的父亲。那么我们可以考虑处理出每一个点\(u\)不经过它在支配树上的父亲，能被什么点\(v\)到达，那么这个\(v\)就有可能对点\(u\)做贡献，那么我们处理询问的时候直接树上差分即可。
