联合省选2021题解

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联合省选2021题解

Day1

A.卡牌游戏

一个很显然的思路是枚举最大值和最小值的位置，然后用$O(N)$的时间判断一下是否合法。时间复杂度$O(N^3)$。

那考虑对这个算法优化，由于$m$的限制显然满足可二分性（我们的策略一定是能不翻就不翻），因此可以考虑枚举最小值位置的同时二分答案，那么我们只需要特殊考虑一下无法通过反转满足要求的边界，找到二分的区间即可。

复杂度$O(n\log n)$

A

B.矩阵游戏

考虑没有上下界限制的答案那么显然可以钦定$A$矩阵的最左边一列和最上边一行均为$0$，递推计算即可。

考虑$0\leq A_{i,j}\leq 10^6$的限制，注意到如果对于一行，把第$x$个数加上$(-1)^x\times k$，$k$为任意整数，那么新的矩阵依然合法。列同理。

那考虑我们给每一行加上一个值$r_i$，每一列加上一个值$c_i$，那么我们最后的答案可以写成这个形式

$$\begin{bmatrix} A_{1,1}+r_1+c_1 & A_{1,1}-r_1+c_2 &.... \\A_{1,2}+r_2-c_1 & A_{2,2}-r_2-c_2 &.... \\....&....&.... \end{bmatrix}$$

但我们很不喜欢看到这种加和的项，因此考虑隔行取反，这样就可以进行差分约束了。

复杂度$O(nm)$

B

C.图函数

考虑另一个问题：无论$v$有没有对$u$做贡献，我们都将它删去。

那么仔细想想这个题是和原问题等价的，因为如果这个点$v$没有和$u$强联通，那么其他点和$u$强联通的那两条路径上也必不会有$v$（否则设这个点为$x$,$x$显然可以通过$v$走到$u$）。

那考虑最终答案是$\sum{f(u,G)}$，那么我枚举$u$，只考虑编号不小于$u$的点，倒序加边，那如果一个$v$和$u$强联通了，设这条路径上编号最小的边编号为$x$,那么点对$(u,v)$可以对$h(G)....h(G_{x-1})$做贡献。于是差分一下，最后统计一下后缀和即可。

C

Day2

D.宝石

显然可以$O(nm\log n)$用倍增解决。

但上述做法是没有前途的。

考虑$m\leq300$

首先可以发现我们要把$s\to t$的路径拆成$S\to LCA$和$LCA\to T$

由于$P_i$互不相同，那么我们可以处理出每个点$i$，设$f(i,gem)$表示$i$向上的第一个宝石为$gem$的节点，那我们可以$O(nm)$处理出$f$的值，对于$S\to LCA$的路径暴跳即可，对于$LCA\to T$的路径我们反着暴跳即可。

现在$m\leq 5\times10^4$

上述做法看起来也歇了，但仔细想想是有前途的，我们可以用主席树把空间缩小，那么关键的部分就是我们不能在树上暴跳了。

但我们发现从$i$往上找一个宝石，再从这个点往上找一个，等价于从$i$向上找两个。

那么倍增即可处理$S\to LCA$的部分。

对于$LCA\to T$的路径我们可以二分这部分收了多少宝石，然后从$T$反着找这么多宝石，看最后的那个点深度与$LCA$的关系

时间复杂度$O(n\log^2n)$

D

E.滚榜

省选最大诈骗题

因为我们不关心$b_i$的具体分配方式，因此对于一个全排列我们可以贪心地去分配。给每一个人尽量少的$b$，最后看$m$个题是否够分即可。

时间复杂度$O(n!)$，期望得分$60pts$

虽然上边的那个大暴力得分很高，但是它是没有前途的，看到这个范围其实应该还是给状压$dp$的。

由于$b_i$单调不降，那么如果我这个点分配了一些题，那么后边所有点都要分配至少这么多题。

那么可以考虑维护增量，提前计算贡献，设$f(S,i,j)$表示已经选的人的集合为$S$，上一个选的是$i$，已经有的贡献是$j$的可能排名个数，枚举增量和上一个的位置转移即可。

E

F.支配

支配关系显然形成一棵树，且我们可以用类似于拓扑排序的方法求出支配树。

问题就在于如何处理询问。

注意到一个点$u$的受支配集改变一定是存在一条路径使得他不经过$u$的祖先，进一步的我们发现他一定不经过$u$在支配树上的父亲。那么我们可以考虑处理出每一个点$u$不经过它在支配树上的父亲，能被什么点$v$到达，那么这个$v$就有可能对点$u$做贡献，那么我们处理询问的时候直接树上差分即可。

F