数据结构之线段树入门
一、前言
对于维护区间连续和问题，我们已经学了很多种算法和数据结构，在规定n<=100000,m(操作数)<=200000,内，暴力算法可以解决单点修改，单点求值。前缀和算法可以解决区间求和问题，而最近学的树状数组可以解决单点修改，区间求和的问题。而当我们需要区间修改时，上边的三种算法都将失效，我们亟待引入一个新的数据结构——线段树。
二、线段树基本思想
1.线段树是一棵二叉树，每一个子节点存取的是一段区间所需要维护的信息，如最大值，最小值，或区间和。
2.线段树基本思想：分治
3.线段树每个节点都以结构体的方式存储，这个结构体有4个属性：左端点、右端点、所维护的信息以及LazyTag(后面会详细说明)
下图很好地阐释了线段树储存信息的方式：
当我们需要求1-3区间和时，只需要调取1-2段和3段的信息即可，具体如何调取将会在以下说明。
注：以下维护信息均为区间和。
三、线段树五大基本操作之一 —— 建树
线段树的建树过程实际上是自底向上计算初始值的过程，从顶向下递归，如果是叶子节点那么就输入值，输入完毕后回溯时计算父节点的权值。
线段树建树代码如下：（注意：一定要把结构体开到4*n级别，手画一棵线段树就知道了！）
1 void build(int l,int r,int k) 2 { 3 tree[k].l=l;tree[k].r=r; 4 if(l==r) 5 { 6 scanf("%lld",&tree[k].w); 7 return; 8 } 9 int mid=(l+r)/2; 10 build(l,mid,k*2); 11 build(mid+1,r,k*2+1); 12 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 13 }
四、线段树五大基本操作之二 —— 单点查询
由于线段树一个非叶节点的两棵子树储存的是这个区间的一半，我们可以根据这个特点每次对范围进行一半的缩小，直到递归到叶子节点为止。时间复杂度为log(n)
线段树单点查询代码如下：
1 int query_point(int k) 2 { 3 int l=tree[k].l,r=tree[k].r; 4 if(l==r)return tree[k].w; 5 int mid=(l+r)/2; 6 if(x<=mid)return query(k*2); 7 return query(k*2+1); 8 }
五、线段树五大基本操作之三 —— 单点修改
单点修改和单点查询原理一样，只需在回溯时维护一下信息即可。
线段树单点修改代码如下：
1 void add_point(int k,int w) 2 { 3 int ll=tree[k].l,rr=tree[k].r; 4 if(ll==rr) 5 { 6 tree[k].w+=w; 7 return; 8 } 9 int mid=(ll+rr)/2; 10 if(x<=mid)add(k*2,w); 11 else add(k*2+1,w); 12 tree[k].w=tree[k*2+1].w+tree[k*2].w; 13 return; 14 }
六、线段树五大基本操作之四 —— 区间求和
区间求和依旧是根据线段树的特点，尽可能调用深度较浅的节点，当目前区间被所需区间完全覆盖时，就加上，否则继续递归。
线段树区间求和代码如下：
1 int query_interval(int k) 2 { 3 int l=tree[k].l,r=tree[k].r; 4 if(l>=x&&r<=y) 5 { 6 ans+=tree[k].w; 7 return; 8 } 9 int mid=(l+r)/2; 10 if(x<=mid)query(k*2); 11 if(y>mid)query(k*2+1); 12 }
六、线段树之LazyTag
使用线段树的一个重要目的就是进行区间修改，而如果按照单点修改的思路，修改整个区间时将会修改整棵线段树，比朴素算法还劣，这时我们就需要引入LazyTag(懒标记)，顾名思义，懒标记十分的懒，只在需要的时候下放，否则就一直呆着。为什么不能一下就全都修改呢？是因为我们其实有很多不需要的信息被下放了，因此造成TLE。因此采用LazyTag改动尽量少点的权值，并改动LazyTag的值，在进行递归的时候为了保证正确性需要先改动子节点的值，该操作叫做标记下放(pushdown),标记下放的时候直接下放到k*2和k*2+1中，并累积到权值和当前节点的LazyTag里（一定要累积，在该节点下放之前父节点可能不止一次下放）注意：在使用LazyTag的程序中，五种基本操作在递归前都需要pushdown！！！
pushdown代码如下：
1 void pushdown(int k) 2 { 3 tree[k*2].lazytag+=tree[k].lazytag; 4 tree[k*2].w+=(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1)*tree[k].lazytag; 5 tree[k*2+1].lazytag+=tree[k].lazytag; 6 tree[k*2+1].w+=(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1)*tree[k].lazytag; 7 tree[k].lazytag=0; 8 return; 9 }
七、线段树五大基本操作之五 —— 区间修改
有了LazyTag，区间修改代码不难写出，和区间求和代码思路一样，需要的时候标记下放即可
线段树区间修改代码如下：
1 void add(int k,int w) 2 { 3 int ll=tree[k].l,rr=tree[k].r; 4 if(ll>=x&&rr<=y) 5 { 6 tree[k].w+=(rr-ll+1)*w; 7 tree[k].lazytag+=w; 8 return; 9 } 10 if(tree[k].lazytag)pushdown(k); 11 int mid=(ll+rr)/2; 12 if(x<=mid)add(k*2,w); 13 if(y>mid)add(k*2+1,w); 14 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 15 return; 16 }
线段树五种基本操作及LazyTag非常重要，请大家一定要好好理解！！
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